(1.0pt) Podemos afirmar, sobre pontos P(3,-1,2), e Q(1,3,-1) e retas r, s de equações
r:l x=-1+2 lambda y=7-4 lambda z=-4+3 lambda ; s:l x=-3+2 mu y=9-3 mu z=-7+3 mu
( ) somente P pertence à reta r
( ) ambos os pontos pertencem à reta s
( ) nenhum dos pontos pertence à reta s
() nenhum dos pontos pertence à reta r
( ) somente Q pertence à reta s
( ) nenhuma das afirmações anteriores está correta.

Passo 1

Vamos verificar quais pontos pertencem às retas usando geometria analítica: basta substituir as coordenadas de cada ponto nas equações paramétricas e checar se obtemos o mesmo parâmetro nas três equações. Precisaremos resolver para o parâmetro e verificar as três coordenadas.

Passo 2

Testando o ponto P(3,−1,2) na reta r. Substituindo na equação de x da reta r temos
3 = -1 + 2lambda implies 2lambda = 4 implies lambda = 2
Agora verificar y e z com lambda=2:
y = 7 - 4cdot2 = 7-8 = -1, bate com P.y;
z = -4 + 3cdot2 = -4+6 = 2, bate com P.z.
Logo, P pertence à reta r.

Passo 3

Testando o ponto Q(1,3,−1) na reta r. Pela equação de x:
1 = -1 + 2lambda implies 2lambda = 2 implies lambda = 1
Verificando y e z com lambda=1:
y = 7 - 4cdot1 = 3, bate com Q.y;
z = -4 + 3cdot1 = -1, bate com Q.z.
Logo, Q também pertence à reta r.

Passo 4

Testando o ponto P(3,−1,2) na reta s. Da equação de x:
3 = -3 + 2mu implies 2mu = 6 implies mu = 3
Com mu=3, verificar y: y = 9 - 3cdot3 = 0, mas P.y = -1, não bate. Logo, P não pertence a s.

Passo 5

Testando o ponto Q(1,3,−1) na reta s. Pela equação de x:
1 = -3 + 2mu implies 2mu = 4 implies mu = 2
Com mu=2, verificar coordenadas:
y = 9 - 3cdot2 = 3, bate com Q.y;
z = -7 + 3cdot2 = -1, bate com Q.z.
Logo, Q pertence à reta s.

Resposta

Somente Q pertence à reta s.

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