(1.0pt) Sobre equação cartesiana no plano de uma elipse de centro C(4,6), eixo principal paralelo ao eixo das ordenadas, excentricidade e=23 e que tangencia (encosta em um único ponto) o eixo das abscissas, está correto:
( ) (x-4)^236+(y-6)^220=1
( ) (x-4)^220+(y-6)^236=1
( ) (x-4)^236+(y-6)^216=1
( ) (x-4)^216+(y-6)^236=1
( ) (x-4)^21620+(y-6)^236=1
( ) nenhuma das demais afirmações está correta.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse de centro C(4,6), eixo principal paralelo ao eixo y, excentricidade e=2/3 e que tangencia o eixo x. Vamos usar forma canônica de elipse, relação entre semi-eixos a,b e excentricidade e e a condição de tangência.

Passo 2

Como o eixo principal é vertical, a forma canônica é
(x-h)^2b^2 + (y-k)^2a^2 = 1
com a > b e centro (h,k) = (4,6).

Passo 3

A elipse tangencia o eixo x (y=0) num único ponto, ou seja, o vértice inferior satisfaz k – a = 0. Como k = 6, temos a = 6.

Passo 4

Pela definição de excentricidade da elipse, e = c/a. Logo c = e·a = (2/3)·6 = 4. E como c^2 = a^2 – b^2, obtemos b^2 = a^2 – c^2 = 36 – 16 = 20.

Passo 5

Substituindo a^2 = 36 e b^2 = 20 na forma canônica, a equação é
(x-4)^220 + (y-6)^236 = 1
que corresponde à segunda opção do enunciado.

Resposta

(x-4)^220 + (y-6)^236 = 1

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