(1.0pt) Sobre retas de equações x-12=y+13=z-14 e x+12=-y4=z-12 está correto:
( ) são paralelas
( ) são coincidentes
( ) são ortogonais mas não concorrentes
( ) são concorrentes mas não ortogonais
( ) são concorrentes e ortogonais
( ) nenhuma das demais afirmaçc̃es está correta.

Passo 1

O enunciado pede para analisar duas retas dadas em forma simétrica e decidir se elas são paralelas, coincidentes, ortogonais e/ou concorrentes. O conteúdo é geometria analítica no espaço, em especial vetores diretores, interseção de retas e produto escalar para ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro vamos escrever cada reta em forma paramétrica. Para a reta 1 temos a igualdade x-12=y+13=z-14=t, de onde
x=1+2t, y=-1+3t, z=1+4t
Isso mostra que um ponto qualquer da reta 1 é (1,-1,1) e seu vetor diretor é v1=(2,3,4).

Passo 3

Para a reta 2 temos x+12=- y4=z-12=s, de onde
x=-1+2s, y=-4s, z=1+2s
Logo um ponto na reta 2 é (-1,0,1) e seu vetor diretor é v2=(2,-4,2).

Passo 4

Para verificar paralelismo ou coincidência, checamos se v1 é múltiplo escalar de v2. Como
22=1,3-4=-0,75,42=2,
não há razão constante única, logo as retas não são paralelas nem coincidentes.

Passo 5

Para ortogonalidade, calculamos o produto escalar
v1cdot v2=2cdot2+3cdot(-4)+4cdot2=4-12+8=0
Como o produto escalar é zero, as direções são perpendiculares.

Passo 6

Para verificar interseção, igualamos as coordenadas das parametrizações e tentamos achar t,s que satisfaçam:
1+2t=-1+2s, -1+3t=-4s, 1+4t=1+2s

Passo 7

Dessas equações obtemos s=2t e t=1, mas ao substituir em -1+3t=-4s não há consistência. Logo não se intersectam.

Passo 8

Concluímos que as retas são ortogonais mas não concorrentes.

Resposta

São ortogonais mas não concorrentes.

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