(1,0pt) De quantos modos 10 pessoas podem ocupar duas salas distintas, devendo cada sala conter pelo menos 4 pessoas?

Passo 1

O enunciado pede para distribuir 10 pessoas distintas em duas salas distintas de modo que cada sala tenha pelo menos 4 pessoas.
Conteúdo usado: contagem de combinações (coeficiente binomial) e soma sobre os possíveis tamanhos de uma sala.

Passo 2

Seja k o número de pessoas na sala A. Como cada sala deve ter pelo menos 4 pessoas e no total são 10, temos
k \ge 4 \quad\text{e}\quad 10 - k \ge 4 \quad\Longrightarrow\quad 4 \le k \le 6.

Passo 3

Para um valor fixo de k, escolhemos quais k pessoas vão para a sala A de \,10, e as outras 10-k vão para a sala B. O número de maneiras é
\binom{10}{k}.

Passo 4

Como k pode ser 4, 5 ou 6, somamos as possibilidades:
\sum_{k=4}^{6} \binom{10}{k} = \binom{10}{4} + \binom{10}{5} + \binom{10}{6}.

Passo 5

Calculando cada termo:
\binom{10}{4} = 210, \quad \binom{10}{5} = 252, \quad \binom{10}{6} = 210.
Somando:
210 + 252 + 210 = 672.

Resposta

O número de modos possíveis é 672.

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