( 1,0 \mathrm{pt} ) De quantos modos podem ser pintados 8 objetos iguais usando 6 cores diferentes?

Passo 1

O enunciado pergunta de quantos modos podemos pintar 8 objetos idênticos com 6 cores diferentes. Este é um problema de combinatória que equaciona a distribuição de 8 objetos indistinguíveis em 6 “caixas” (cada caixa representa uma cor).

Passo 2

Modelamos cada pintura por uma solução (x_{1},x_{2},\dots,x_{6}) em inteiros não negativos de
x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{6} = 8,
onde x_{i} é o número de objetos pintados com a cor i. Logo precisamos contar o número de composições fracas de 8 em 6 partes.

Passo 3

Pelo princípio de “estrelas e barras” (ou fórmula de composições com partes nulas), o número de soluções não negativas de
x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{6} = 8
é
\binom{8 + 6 - 1}{6 - 1} = \binom{13}{5}.

Passo 4

Basta calcular
\binom{13}{5} = \frac{13!}{5!\,8!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1287.

Resposta

1287 modos.

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