(1,0pt) De quantos modos podemos colocar 5 torres iguais em um tabuleiro
, de modo que haja uma única em cada linha e em cada coluna?
Passo 1
O enunciado quer contar de quantos modos podemos colocar 5 torres idênticas num tabuleiro de 8 linhas por 6 colunas, de forma que haja exatamente uma torre em cada linha usada e em cada coluna usada, sem colisão de torres. O conteúdo aqui é contagem de arranjos sem repetição, usando combinações para escolher quais linhas e colunas vão receber torres, e depois permutações para distribuir as torres nas posições escolhidas.
Passo 2
Primeiro escolhemos em quais linhas vamos colocar as 5 torres. Como o tabuleiro tem 8 linhas e usaremos 5 delas, o número de escolhas é
pois estamos escolhendo 5 linhas dentre 8, sem ordem.
Passo 3
Em seguida escolhemos as 5 colunas onde as torres ficarão. O tabuleiro tem 6 colunas e usamos 5, então há
maneiras de escolher essas colunas.
Passo 4
Agora temos um conjunto de 5 linhas e um conjunto de 5 colunas onde cada torre deve ficar numa linha diferente e numa coluna diferente. Precisamos fazer um pareamento bijetivo entre as 5 linhas e as 5 colunas: cada linha escolhida recebe exatamente uma coluna escolhida. O número de bijeções entre dois conjuntos de tamanho 5 é
que é o número de permutações de 5 elementos.
que é o número de permutações de 5 elementos.
Passo 5
Pelo princípio multiplicativo, o total de arranjos é
Vamos calcular cada fator:
Portanto
Resposta
40320 modos.