(1,0pt) De quantos modos podemos colocar 5 torres iguais em um tabuleiro 8 \times 6, de modo que haja uma única em cada linha e em cada coluna?

Passo 1

O enunciado quer contar de quantos modos podemos colocar 5 torres idênticas num tabuleiro de 8 linhas por 6 colunas, de forma que haja exatamente uma torre em cada linha usada e em cada coluna usada, sem colisão de torres. O conteúdo aqui é contagem de arranjos sem repetição, usando combinações para escolher quais linhas e colunas vão receber torres, e depois permutações para distribuir as torres nas posições escolhidas.

Passo 2

Primeiro escolhemos em quais linhas vamos colocar as 5 torres. Como o tabuleiro tem 8 linhas e usaremos 5 delas, o número de escolhas é
\binom{8}{5}
pois estamos escolhendo 5 linhas dentre 8, sem ordem.

Passo 3

Em seguida escolhemos as 5 colunas onde as torres ficarão. O tabuleiro tem 6 colunas e usamos 5, então há
\binom{6}{5}
maneiras de escolher essas colunas.

Passo 4

Agora temos um conjunto de 5 linhas e um conjunto de 5 colunas onde cada torre deve ficar numa linha diferente e numa coluna diferente. Precisamos fazer um pareamento bijetivo entre as 5 linhas e as 5 colunas: cada linha escolhida recebe exatamente uma coluna escolhida. O número de bijeções entre dois conjuntos de tamanho 5 é 5!
que é o número de permutações de 5 elementos.

Passo 5

Pelo princípio multiplicativo, o total de arranjos é
\binom{8}{5}\;\times\;\binom{6}{5}\;\times\;5!.
Vamos calcular cada fator:
\binom{8}{5}=\frac{8!}{5!\,3!}=56, \quad \binom{6}{5}=6, \quad 5!=120.
Portanto
56\times6\times120=56\times720=40320.

Resposta

40320 modos.

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