(1.5 pt) Quantos são os anagramas da palavra AMARELA que possuem a letra A na primeira possição ou a letra M na segunda posição ou a letra A na terceira posição?

Passo 1

O enunciado pede o número de anagramas da palavra “AMARELA” (7 letras, com 3 As repetidos) que satisfazem pelo menos uma das condições:
– A letra A está na primeira posição;
– a letra M está na segunda posição;
– a letra A está na terceira posição.
Para resolver, vamos usar o princípio da inclusão-exclusão e a fórmula de anagramas com repetição, que diz que, para um conjunto de n objetos onde há repetições (contagens n_1,n_2,\dots), o número de permutações é
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}.

Passo 2

Contagem de anagramas com A na primeira posição P_1:
Fixando um A em posição 1, restam 6 letras: A(2), M, R, E, L. O número de permutações dessas 6 letras é
|P_1| \;=\;\frac{6!}{2!}\;=\;\frac{720}{2}\;=\;360.

Passo 3

Contagem de anagramas com M na segunda posição P_2:
Fixando M em posição 2, restam 6 letras: A(3), R, E, L. O número de permutações é
|P_2| \;=\;\frac{6!}{3!}\;=\;\frac{720}{6}\;=\;120.

Passo 4

Contagem de anagramas com A na terceira posição P_3:
Fixando um A em posição 3, restam 6 letras: A(2), M, R, E, L. Assim
|P_3| \;=\;\frac{6!}{2!}\;=\;360.

Passo 5

Interseção P_1\cap P_2 (A na 1ª e M na 2ª):
Restam 5 letras: A(2), R, E, L. Então
|P_1\cap P_2| \;=\;\frac{5!}{2!}\;=\;\frac{120}{2}\;=\;60.

Passo 6

Interseção P_1\cap P_3 (A na 1ª e A na 3ª):
Fixando dois As, restam 5 letras: A(1), M, R, E, L. Logo
|P_1\cap P_3| \;=\;5! \;=\;120.

Passo 7

Interseção P_2\cap P_3 (M na 2ª e A na 3ª):
Restam 5 letras: A(2), R, E, L. Assim
|P_2\cap P_3| \;=\;\frac{5!}{2!}\;=\;60.

Passo 8

Interseção tripla P_1\cap P_2\cap P_3 (A na 1ª, M na 2ª, A na 3ª):
Restam 4 letras: A(1), R, E, L. Então
|P_1\cap P_2\cap P_3| \;=\;4! \;=\;24.

Passo 9

Aplicando a inclusão-exclusão:
|P_1\cup P_2\cup P_3| = \bigl(|P_1|+|P_2|+|P_3|\bigr) - \bigl(|P_1\cap P_2|+|P_1\cap P_3|+|P_2\cap P_3|\bigr) + |P_1\cap P_2\cap P_3|.
Substituindo os valores:
360 + 120 + 360 \;-\;(60 + 120 + 60)\;+\;24 \;=\;840 - 240 + 24 \;=\;624.

Resposta

624 anagramas.

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