(1.5 pt) Quantos são os anagramas da palavra AMARELA que possuem a letra A na primeira possição ou a letra M na segunda posição ou a letra A na terceira posição?
Passo 1
O enunciado pede o número de anagramas da palavra “AMARELA” (7 letras, com 3 As repetidos) que satisfazem pelo menos uma das condições:
– A letra A está na primeira posição;
– a letra M está na segunda posição;
– a letra A está na terceira posição.
Para resolver, vamos usar o princípio da inclusão-exclusão e a fórmula de anagramas com repetição, que diz que, para um conjunto de objetos onde há repetições (contagens
), o número de permutações é
– A letra A está na primeira posição;
– a letra M está na segunda posição;
– a letra A está na terceira posição.
Para resolver, vamos usar o princípio da inclusão-exclusão e a fórmula de anagramas com repetição, que diz que, para um conjunto de
Passo 2
Contagem de anagramas com A na primeira posição
:
Fixando um A em posição 1, restam 6 letras: A(2), M, R, E, L. O número de permutações dessas 6 letras é
Fixando um A em posição 1, restam 6 letras: A(2), M, R, E, L. O número de permutações dessas 6 letras é
Passo 3
Contagem de anagramas com M na segunda posição
:
Fixando M em posição 2, restam 6 letras: A(3), R, E, L. O número de permutações é
Fixando M em posição 2, restam 6 letras: A(3), R, E, L. O número de permutações é
Passo 4
Contagem de anagramas com A na terceira posição
:
Fixando um A em posição 3, restam 6 letras: A(2), M, R, E, L. Assim
Fixando um A em posição 3, restam 6 letras: A(2), M, R, E, L. Assim
Passo 5
Interseção
(A na 1ª e M na 2ª):
Restam 5 letras: A(2), R, E, L. Então
Restam 5 letras: A(2), R, E, L. Então
Passo 6
Interseção
(A na 1ª e A na 3ª):
Fixando dois As, restam 5 letras: A(1), M, R, E, L. Logo
Fixando dois As, restam 5 letras: A(1), M, R, E, L. Logo
Passo 7
Interseção
(M na 2ª e A na 3ª):
Restam 5 letras: A(2), R, E, L. Assim
Restam 5 letras: A(2), R, E, L. Assim
Passo 8
Interseção tripla
(A na 1ª, M na 2ª, A na 3ª):
Restam 4 letras: A(1), R, E, L. Então
Restam 4 letras: A(1), R, E, L. Então
Passo 9
Aplicando a inclusão-exclusão:
Substituindo os valores: