Identifique a quádrica de equação
, indique seu centro e/ou vértice(s) e/ou eixo(s) principal(ais), se existirem. Identifique sua intersecção com o plano
, indicando seus principais elementos.
Passo 1
O enunciado pede para a gente classificar a quádru ca dada por
identificar seu centro, vértices e eixos principais (se houver), e depois achar a interseção com o plano
Passo 2
Para pôr a equação na forma canônica, vamos completar quadrados em
,
e
:
-
-
-
Substituindo na equação original:
Agrupando e simplificando constantes:
ou seja
Multiplicando por
:
Passo 3
Vemos que a forma canônica
corresponde a um hiperbolóide de duas folhas (um termo positivo e dois negativos). Como é um quadricentro, seu centro de simetria é o ponto que anula todos os termos lineares, isto é
.
O único termo positivo é
, então o eixo principal é paralelo ao eixo
. Os vértices ocorrem quando
e
, de modo que
Logo os vértices são:
Passo 4
Para a interseção com o plano
, basta pôr
na forma canônica já obtida (antes do
) ou na original completa. Usando
temos
(x-2){2}-(y+3){2}=-5
(y+3){2}-(x-2){2}=5
\frac{(y+3){2}}{5}-\frac{(x-2){2}}{5}=1,
e assíntotas dadas por
$$y+3=\pm(x-2).
$$
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, de centro em (2,–3,1), eixo principal paralelo ao eixo y e vértices em (2,–1,1) e (2,–5,1). A interseção com z=0 é uma hipérbole de centro em (2,–3,0), vértices em (2,–3±√5,0) e assíntotas y+3=±(x–2).