Identifique a quádrica de equação x^2-y^2+z^2-4 x-6 y-2 z=0, indique seu centro e/ou vértice(s) e/ou eixo(s) principal(ais), se existirem. Identifique sua intersecção com o plano z=0, indicando seus principais elementos.

Passo 1

O enunciado pede para a gente classificar a quádru ca dada por
x^2-y^2+z^2-4x-6y-2z=0,
identificar seu centro, vértices e eixos principais (se houver), e depois achar a interseção com o plano z=0, identificando os elementos principais dessa curva resultante.

Passo 2

Para pôr a equação na forma canônica, vamos completar quadrados em x, y e z:
  • x^2-4x=(x-2)^2-4
  • -y^2-6y= -l[(y+3)^2-9r]=-(y+3)^2+9
  • z^2-2z=(z-1)^2-1
    Substituindo na equação original:
(x-2)^2-4;-igl[(y+3)^2-9r]+(z-1)^2-1=0 
Agrupando e simplificando constantes:
(x-2)^2+(z-1)^2-(y+3)^2+(-4+9-1)=0
(x-2)^2+(z-1)^2-(y+3)^2+4=0
ou seja
(x-2)^2+(z-1)^2-(y+3)^2=-4
Multiplicando por -1:
(y+3)^2-(x-2)^2-(z-1)^2=4

Passo 3

Vemos que a forma canônica
(y+3)^24-(x-2)^24-(z-1)^24=1
corresponde a um hiperbolóide de duas folhas (um termo positivo e dois negativos). Como é um quadricentro, seu centro de simetria é o ponto que anula todos os termos lineares, isto é (2,-3,1).
O único termo positivo é (y+3)^2, então o eixo principal é paralelo ao eixo y. Os vértices ocorrem quando (x-2)=0 e (z-1)=0, de modo que
(y+3)^24=1implies y+3=pm2
Logo os vértices são:
(2,-3+2,1)=(2,-1,1)e(2,-3-2,1)=(2,-5,1)

Passo 4

Para a interseção com o plano z=0, basta pôr z=0 na forma canônica já obtida (antes do =-4) ou na original completa. Usando
(x-2)^2+(0-1)^2-(y+3)^2=-4
temos
(x-2)^2+1-(y+3)^2=-4$$
(x-2){2}-(y+3){2}=-5
(x-2)^2-(y+3)^2=-5
(y+3){2}-(x-2){2}=5
-1ééçãã
\frac{(y+3){2}}{5}-\frac{(x-2){2}}{5}=1,
(y+3)^2-(x-2)^2=5 é(2,-3\pm\sqrt{5},0)$$
e assíntotas dadas por
$$y+3=\pm(x-2).
$$

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, de centro em (2,–3,1), eixo principal paralelo ao eixo y e vértices em (2,–1,1) e (2,–5,1). A interseção com z=0 é uma hipérbole de centro em (2,–3,0), vértices em (2,–3±√5,0) e assíntotas y+3=±(x–2).

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