(1.0pt) Sobre I=integral-infty^infty e^-2|x| d x é correto:
( ) I=1
( ) I=-2
( ) I=2
( ) I=4
( ) nenhuma das demais alternativas está correta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I = integral-infty^infty e^-2|x| , dx
Aqui vamos usar o conceito de valor absoluto e trabalhar com integrais impróprias.

Passo 2

Para eliminar o valor absoluto, dividimos o domínio em duas regiões (x<0 e x≥0). Assim temos
I = integral-infty^0 e^-2|x| , dx + integral0^infty e^-2|x| , dx = integral-infty^0 e^-2(-x) , dx + integral0^infty e^-2x , dx = integral-infty^0 e^2x , dx + integral0^infty e^-2x , dx

Passo 3

Agora calculamos cada parte separadamente. Para a segunda integral, a antiderivada de e^-2x é -tfrac12 e^-2x, então
integral0^infty e^-2x , dx = l[-tfrac12 e^-2xr]0^infty = 0 - l(-tfrac12r) = tfrac12
De modo análogo, a antiderivada de e^2x é tfrac12 e^2x, logo
integral-infty^0 e^2x , dx = l[tfrac12 e^2xr]-infty^0 = tfrac12 - 0 = tfrac12

Passo 4

Somando as duas parcelas obtemos
I = tfrac12 + tfrac12 = 1
Portanto o valor da integral é 1.

Resposta

I = 1

Exercícios relacionados