(1.0pt) Sobre I=integral0^pi / 2 sen^3(x) cos ^3(x) d x é correto:
( ) I=0
( ) I=112
( ) I=-112
( ) I=512
( ) nenhuma das demais alternativas está correta

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
I=integral0^pi/2sin^3(x)cos^3(x),dx
do tópico de integrais de potências de senos e cossenos.

Passo 2

Para resolver esse tipo de integral, lembramos da relação com a função Beta:
integral0^pi/2sin^m-1xcos^n-1x,dx = 12,Bl(tfrac m2,tfrac n2r)
Essa fórmula surge ao ligar integrais trigonométricas com a definição de B(a,b).
Aqui temos sin^3xcos^3x, ou seja, comparamos m-1=3 e n-1=3, concluindo que m=4 e n=4.

Passo 3

Agora calculamos o valor de B(2,2), pois tfrac m2=2 e tfrac n2=2:
B(2,2)=Gamma(2),Gamma(2)Gamma(4)=1cdot16=16
Então
I=12,B(2,2)=12cdot16=112

Passo 4

Portanto, a integral vale 112.

Resposta

I=112

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