Considere cccc3 & -1 & 5 & 0 0 & 2 & 0 & 1 2 & 0 & -1 & 3 1 & 1 & 2 & 0
Encontre A^-1 usando escalonamento.

Passo 1

A questão pede para encontrar o inverso da matriz A usando escalonamento (eliminação de Gauss–Jordan). Vamos montar a matriz aumentada [A|I] e aplicar operações elementares até chegar em [I|A^-1].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
[A|I]=3&-1&5&0&|&1&0&0&00&2&0&1&|&0&1&0&02&0&-1&3&|&0&0&1&01&1&2&0&|&0&0&0&1
e trocamos as linhas R1rightarrow R4 para ter pivô 1 em (1,1). Em seguida fazemos
R3 R3-2R1
e
R4 R4-3R1
para zerar as entradas abaixo do pivô na primeira coluna.

Passo 3

Agora normalizamos o pivô de R2 dividindo essa linha por 2, ficando com 1 na posição (2,2). Depois zeramos as entradas na coluna 2 em R1,R3,R4 usando combinações do tipo
Ri Ri - c,R2,
para que só reste 1 em (2,2) e zeros acima e abaixo.

Passo 4

Repetimos o processo para a terceira coluna: dividimos
R3 por -5 para normalizar o pivô em (3,3), e então zeramos as outras entradas dessa coluna em R1,R2,R4 aplicando
Ri Ri - c,R3.

Passo 5

Por fim, normalizamos o pivô em (4,4) dividindo
R4 por 6/5 e zeramos as entradas na coluna 4 em R1,R2,R3. Ao concluir obtemos a matriz aumentada na forma
[I|A^-1] = 1&0&0&0&|&-tfrac1112&-tfrac74&tfrac712&tfrac3112 0&1&0&0&|&-tfrac512&-tfrac14&tfrac112&tfrac1312 0&0&1&0&|&tfrac23&1&-tfrac13&-tfrac43 0&0&0&1&|&tfrac56&tfrac32&-tfrac16&-tfrac136

Passo 6

Lemos então
A^-1= -tfrac1112&-tfrac74&tfrac712&tfrac3112 -tfrac512&-tfrac14&tfrac112&tfrac1312 tfrac23&1&-tfrac13&-tfrac43 tfrac56&tfrac32&-tfrac16&-tfrac136

Resposta

A^-1= -tfrac1112&-tfrac74&tfrac712&tfrac3112 -tfrac512&-tfrac14&tfrac112&tfrac1312 tfrac23&1&-tfrac13&-tfrac43 tfrac56&tfrac32&-tfrac16&-tfrac136

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