Resolva os sistemas reduzindo à forma escalonada reduzida e confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
l3 x+5 y=1 2 x+z=3 5 x+y-z=0

Passo 1

Temos o sistema
3x + 5y = 1
2x + z = 3
5x + y - z = 0
Conteúdo: resolução de sistemas lineares por escalonamento de matrizes (Gauss–Jordan) e Teorema de Rouché–Capelli para checar existência e unicidade de soluções.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c 3 & 5 & 0 & 1 2 & 0 & 1 & 3 5 & 1 & -1 & 0 ]

Passo 3

Na primeira coluna, transformamos o primeiro pivô em 1 dividindo a linha 1 por 3 e depois eliminamos x das linhas 2 e 3:
R1totfrac13R1: [ccc|c 1 & tfrac53 & 0 & tfrac13 2 & 0 & 1 & 3 5 & 1 & -1& 0 ]
R2to R2-2R1, R3to R3-5R1: [ccc|c 1 & tfrac53 & 0 & tfrac13 0 & -tfrac103 & 1 & tfrac73 0 & -tfrac223 & -1 & -tfrac53 ]

Passo 4

Na segunda coluna, normalizamos o pivô em R_2 e eliminamos y em R_1 e R_3:
R2to -tfrac310R2: [ccc|c 1 & tfrac53 & 0 & tfrac13 0 & 1 & -tfrac310 & -tfrac710 0 & -tfrac223 & -1 & -tfrac53 ]
R1to R1-tfrac53R2, R3to R3+tfrac223R2: [ccc|c 1 & 0 & -tfrac12 & tfrac32 0 & 1 & -tfrac310 & -tfrac710 0 & 0 & -tfrac165 & -tfrac345 ]

Passo 5

Na terceira coluna, normalizamos o pivô em R_3 e eliminamos z em R_1 e R_2:
R3to -tfrac516R3: [ccc|c 1 & 0 & -tfrac12 & tfrac32 0 & 1 & -tfrac310 & -tfrac710 0 & 0 & 1 & tfrac178 ]
R1to R1+tfrac12R3, R2to R2+tfrac310R3: [ccc|c 1 & 0 & 0 & tfrac4116 0 & 1 & 0 & -tfrac116 0 & 0 & 1 & tfrac178 ]

Passo 6

A forma escalonada reduzida mostra a solução única
x=tfrac4116,;y=-tfrac116,;z=tfrac178.
Pelo Teorema de Rouché–Capelli temos
rank(A)=rank(A|b)=3, igual ao número de incógnitas, confirmando unicidade da solução.

Resposta

x=tfrac4116, y=-tfrac116, z=tfrac178

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