Resolva os sistemas reduzindo à forma escalonada reduzida e confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
Passo 1
A questão pede para resolver o sistema por eliminação gaussiana até a forma escalonada reduzida (RREF) e depois checar consistência e unicidade da solução com o Teorema de Rouché-Capelli. O conteúdo aqui envolve Álgebra Linear, mais especificamente resolução de sistemas lineares e análise de posto de matrizes.
Passo 2
Vamos montar a matriz aumentada do sistema. Temos as equações:
2 & -5 & | & 0 1 & 1 & | & 0 2 & 1 & | & 0
Para facilitar os cálculos, trocamos a primeira e a segunda linha, trazendo um pivô unitário para o topo. Após a troca, a matriz fica:
1 & 1 & | & 0 2 & -5 & | & 0 2 & 1 & | & 0
Passo 3
Agora eliminamos o termo em x das linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô. Fazemos:
L2 to L2 - 2cdotL1
L3 to L3 - 2cdotL1
E obtemos:
1 & 1 & | & 0 0 & -7 & | & 0 0 & -1 & | & 0
Passo 4
Em seguida, normalizamos o pivô da linha 2 (dividindo por -7) e usamos essa linha para zerar a coluna y nas outras linhas. Primeiro, L2 to L2 / -7, ficando 0;1;|;0. Depois:
L1 to L1 -L2
L3 to L3 + L2
Isso leva à forma escalonada reduzida:
1 & 0 & | & 0 0 & 1 & | & 0 0 & 0 & | & 0
Passo 5
Da forma RREF vemos diretamente que x=0 e y=0. Não há parâmetros livres, logo a solução é única.
Aplicando o Teorema de Rouché-Capelli, o posto da matriz dos coeficientes é 2 e o posto da matriz aumentada também é 2. Como esse valor é igual ao número de incógnitas, o sistema é consistente e tem solução única.