(1.0pt) Sobre I=integral0^2 x e^-x^2 d x é correto:
( ) I=1-e^4e^4
( ) I=1-e^-42
( ) I=1-e^-22
( ) I=1-e^-2
( ) nenhuma das demais alternativas está correta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida I=integral0^2 x e^-x^2,dx. O conteúdo é integral por substituição, e vamos precisar reconhecer que x,dx é parte do diferencial de x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição u = x^2. Então du = 2x,dx, logo x,dx = tfrac12,du. Os limites em x=0 e x=2 viram em u=0 e u=4, respectivamente.
Reescrevendo a integral em u:
I = integral0^2 x e^-x^2,dx = integralu=0^u=4 e^-u l(tfrac12,dur) = tfrac12 integral0^4 e^-u,du

Passo 3

Agora basta integrar e^-u. Sabemos que integral e^-u,du = -e^-u + C. Aplicando nos limites:
I = tfrac12 l[-e^-ur]0^4 = tfrac12l(-e^-4 + e^0r) = tfrac12l(1 - e^-4r)

Passo 4

Portanto, dentre as alternativas dadas, a correta é I = tfrac1 - e^-42.

Resposta

I = \tfrac{1 - e^{-4}}{2}

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