Questão 1. Verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
Se T: R^2 R^2 é um operador linear com um unico autovalor lambda=2 e autovetores v1=(0,-1) e v2=(2,1) entao T é diagonalizavel

Passo 1

O enunciado diz que temos um operador linear T: R^2 to R^2 cujo único autovalor é lambda = 2 e que possui dois autovetores dados por v1 = (0, -1) e v2 = (2, 1). O conteúdo aqui é diagonalização de operadores lineares, e para isso precisamos de uma base de autovetores.

Passo 2

Para um operador linear ser diagonalizável em R^2, precisamos de dois autovetores linearmente independentes. Esses autovetores formarão uma base de R^2.

Passo 3

Vamos verificar a independência linear de v1 e v2. Note que v1 = (0, -1) e v2 = (2, 1) não são múltiplos um do outro, pois não existe alpha tal que v2 = alpha v1. Logo, são linearmente independentes.

Passo 4

Como encontramos dois autovetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 2, a multiplicidade geométrica do autovalor 2 é 2. Como a soma das multiplicidades geométrica e algébrica coincide e atinge a dimensão do espaço, concluímos que T é diagonalizável.

Resposta

Verdadeiro.

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