Questão 1. Verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
Se
é um operador linear com um unico autovalor
e autovetores
e
entao
é diagonalizavel
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos um operador linear T:
cujo único autovalor é
e que possui dois autovetores dados por
e
. O conteúdo aqui é diagonalização de operadores lineares, e para isso precisamos de uma base de autovetores.
Passo 2
Para um operador linear ser diagonalizável em
, precisamos de dois autovetores linearmente independentes. Esses autovetores formarão uma base de
.
Passo 3
Vamos verificar a independência linear de
e
. Note que
e
não são múltiplos um do outro, pois não existe
tal que
. Logo, são linearmente independentes.
Passo 4
Como encontramos dois autovetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 2, a multiplicidade geométrica do autovalor
é 2. Como a soma das multiplicidades geométrica e algébrica coincide e atinge a dimensão do espaço, concluímos que
é diagonalizável.
Resposta
Verdadeiro.