Questão 1. Verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
Se T: R^4 R^4 é um operador linear, e A e B sao bases do R^4 entao [T]A^A e [T]B^B sao matrizes equivalentes

Passo 1

No enunciado, a gente tem um operador linear T: R^4toR^4 e duas bases A e B do R^4. A pergunta é se as matrizes de T nessas bases, ou seja [T]A^A e [T]B^B, são equivalentes. O assunto aqui é mudança de base e similaridade (ou equivalência) de matrizes.

Passo 2

Para começar, é bom lembrar o que significa representar T numa base. Se v é um vetor em R^4, suas coordenadas na base A são [v]A e na base B são [v]B. A ação de T é traduzida em cada base por uma matriz:
[T]A^A,[v]A = [T(v)]A e [T]B^B,[v]B = [T(v)]B
Agora vem o truque da mudança de base. Seja P a matriz de mudança de coordenadas de B para A, isto é,
[v]A = P,[v]B para todo v
Aplicando T e usando essa relação, obtemos:
[T(v)]A = [T]A^A,[v]A = [T]A^A,P,[v]B
Por outro lado, sabendo que [T(v)]A = P,[T(v)]B, a gente iguala:
P,[T(v)]B = [T]A^A,P,[v]B
Como isso vale para todo [v]B, segue-se:
[T]B^B = P^-1,[T]A^A,P

Passo 3

Essa é a fórmula clássica de similaridade de matrizes. Duas matrizes são chamadas equivalentes (no sentido de mudança de base) se existe matriz invertível U (aqui U = P^{-1}) e V (aqui V = P) tais que uma vira a outra por N = U M V. O caso de similaridade é ainda mais forte, com V = U^{-1}.
Portanto, as matrizes [T]A^A e [T]B^B são equivalentes (ou semelhantes) sempre que mudamos de base.

Resposta

Verdadeiro.

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