Questão 1. Verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
Se
é um operador linear, e
e
sao bases do
entao
e
sao matrizes equivalentes
Se
Passo 1
No enunciado, a gente tem um operador linear T:
e duas bases A e B do
. A pergunta é se as matrizes de T nessas bases, ou seja
e
, são equivalentes. O assunto aqui é mudança de base e similaridade (ou equivalência) de matrizes.
Passo 2
Para começar, é bom lembrar o que significa representar T numa base. Se v é um vetor em
, suas coordenadas na base A são
e na base B são
. A ação de T é traduzida em cada base por uma matriz:
Agora vem o truque da mudança de base. Seja P a matriz de mudança de coordenadas de B para A, isto é,
Aplicando T e usando essa relação, obtemos:
Por outro lado, sabendo que
Como isso vale para todo
, segue-se:
Passo 3
Essa é a fórmula clássica de similaridade de matrizes. Duas matrizes são chamadas equivalentes (no sentido de mudança de base) se existe matriz invertível U (aqui U = P^{-1}) e V (aqui V = P) tais que uma vira a outra por
. O caso de similaridade é ainda mais forte, com V = U^{-1}.
Portanto, as matrizes e
são equivalentes (ou semelhantes) sempre que mudamos de base.
Portanto, as matrizes
Resposta
Verdadeiro.