Questão 2. (a)(1.0pt) Obtenha uma equação reduzida, em
, para a elipse cujos focos são
e
, e um dos vértices é
.
(b)(1.0pt) Obtenha equação, em
para o parabolóide elíptico com vértice na origem cuja intersecção com o plano
é a elipse da parte (a).
(b)(1.0pt) Obtenha equação, em
Passo 1
A questão pede a equação reduzida de uma elipse em (x,y) com focos em (-5,0) e (5,0) e vértice em (-10,0), e depois a equação de um parabolóide elíptico em (x,y,z) de vértice na origem cuja seção em z=5 seja justamente essa elipse. Vamos usar a forma padrão de elipse centrada na origem e a forma padrão de parabolóide elíptico.
Passo 2
Primeiro identificamos o centro e o parâmetro c da elipse. Os focos estão em (-5,0) e (5,0), então o centro é o ponto médio: (0,0). A distância do centro a cada foco é c = 5. Como um dos vértices é (-10,0), a distância do centro ao vértice é a = 10.
Passo 3
Em elipse com eixo maior horizontal, a relação entre os semi-eixos a, b e c é b² = a² - c². Então temos a² = 10² = 100 e c² = 5² = 25, logo b² = 100 - 25 = 75. Assim a = 10 e b = √75.
Passo 4
A forma reduzida da elipse centrada na origem, com eixo maior ao longo de x, é
Substituindo a²=100 e b²=75, obtemos
Passo 5
Para o parabolóide elíptico de vértice na origem cuja intersecção em z=const seja uma elipse, usamos a forma padrão
Resposta
Parte (a):
Parte (b):