Questão 2. (a)(1.0pt) Obtenha uma equação reduzida, em (x, y), para a elipse cujos focos são (-5,0) e (5,0), e um dos vértices é (-10,0).
(b)(1.0pt) Obtenha equação, em (x, y, z) para o parabolóide elíptico com vértice na origem cuja intersecção com o plano z=5 é a elipse da parte (a).

Passo 1

A questão pede a equação reduzida de uma elipse em (x,y) com focos em (-5,0) e (5,0) e vértice em (-10,0), e depois a equação de um parabolóide elíptico em (x,y,z) de vértice na origem cuja seção em z=5 seja justamente essa elipse. Vamos usar a forma padrão de elipse centrada na origem e a forma padrão de parabolóide elíptico.

Passo 2

Primeiro identificamos o centro e o parâmetro c da elipse. Os focos estão em (-5,0) e (5,0), então o centro é o ponto médio: (0,0). A distância do centro a cada foco é c = 5. Como um dos vértices é (-10,0), a distância do centro ao vértice é a = 10.

Passo 3

Em elipse com eixo maior horizontal, a relação entre os semi-eixos a, b e c é b² = a² - c². Então temos a² = 10² = 100 e c² = 5² = 25, logo b² = 100 - 25 = 75. Assim a = 10 e b = √75.

Passo 4

A forma reduzida da elipse centrada na origem, com eixo maior ao longo de x, é
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Substituindo a²=100 e b²=75, obtemos
x^2100 + y^275 = 1.

Passo 5

Para o parabolóide elíptico de vértice na origem cuja intersecção em z=const seja uma elipse, usamos a forma padrão
x^2a^2 + y^2b^2 = zk. Queremos que, ao fixar z=5, apareça exatamente
x^2100 + y^275 = 1. Logo devemos ter 5/k = 1, ou seja k = 5. Portanto a equação do parabolóide é
x^2100 + y^275 = z5

Resposta

Parte (a):
x^2100 + y^275 = 1
Parte (b):
x^2100 + y^275 = z5

Exercícios relacionados