2- (2.0pts) Calcule as componentes \Gamma_{12}^{2}\left(=\Gamma_{r \theta}^{\theta}\right), \Gamma_{21}^{2}\left(=\Gamma_{\theta r}^{\theta}\right) e \Gamma_{33}^{2}\left(=\Gamma_{w \varphi}^{\theta}\right) do simbolo de Christoffel em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as componentes \Gamma_{12}^{2}, \Gamma_{21}^{2} e \Gamma_{33}^{2} do símbolo de Christoffel em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi). Vamos usar a métrica esférica e a definição de Christoffel em termos de g_{ij}.

Passo 2

Em coordenadas esféricas a métrica não nula tem componentes
g_{11}=1,\quad g_{22}=r^{2},\quad g_{33}=r^{2}\sin^{2}\theta
e a inversa
g^{11}=1,\quad g^{22}=\frac{1}{r^{2}},\quad g^{33}=\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}.

Passo 3

O símbolo de Christoffel é dado por
\Gamma_{ij}^{k} =\tfrac{1}{2}\,g^{k\ell}\bigl(\partial_{i}g_{\ell j}+\partial_{j}g_{\ell i}-\partial_{\ell}g_{ij}\bigr).

Passo 4

Para \Gamma^{2}_{12}=\Gamma^{\theta}_{r\theta} observamos que o único termo não nulo em \partial_{r}g_{22} é
\partial_{r}g_{22}=\partial_{r}(r^{2})=2r.
Logo
\Gamma^{\theta}_{r\theta} =\tfrac{1}{2}\,g^{22}\,\partial_{r}g_{22} =\tfrac{1}{2}\,\frac{1}{r^{2}}\,(2r) =\frac{1}{r}.

Passo 5

Pela simetria \Gamma^{k}_{ij}=\Gamma^{k}_{ji} temos
\Gamma^{2}_{21}=\Gamma^{\theta}_{\theta r} =\Gamma^{\theta}_{r\theta} =\frac{1}{r}.

Passo 6

Para \Gamma^{2}_{33}=\Gamma^{\theta}_{\varphi\varphi} usamos
\partial_{\theta}g_{33} =\partial_{\theta}(r^{2}\sin^{2}\theta) =2r^{2}\sin\theta\cos\theta.
Como apenas o termo com -\partial_{\ell}g_{ij} contribui (pois i=j=3),
\Gamma^{\theta}_{\varphi\varphi} =-\tfrac{1}{2}\,g^{22}\,\partial_{\theta}g_{33} =-\tfrac{1}{2}\,\frac{1}{r^{2}}\,(2r^{2}\sin\theta\cos\theta) =-\sin\theta\cos\theta.

Resposta

\Gamma^{2}_{12}=\Gamma^{2}_{21}=\dfrac{1}{r},\quad \Gamma^{2}_{33}=-\sin\theta\cos\theta.

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