6-(2.0pts) Encontre a transformada de Fourier de f(t)=A \sin \left(\omega_{0} t\right), sendo A e \omega_{0} constantes.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de
f(t)=A\sin(\omega_{0}t),
onde A e \omega_{0} são constantes. O conteúdo fundamental aqui é usar a representação de \sin em termos de exponenciais de Euler e a propriedade
\mathcal{F}\{e^{i\alpha t}\} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\alpha t}e^{-i\omega t}\,dt = 2\pi\,\delta(\omega-\alpha).

Passo 2

Escrevemos \sin(\omega_{0}t) pela fórmula de Euler:
\sin(\omega_{0}t) =\frac{e^{i\omega_{0}t}-e^{-i\omega_{0}t}}{2i}.
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f(t) = A\,\sin(\omega_{0}t) = \frac{A}{2i}\Bigl(e^{i\omega_{0}t}-e^{-i\omega_{0}t}\Bigr).

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Fourier,
\mathcal{F}\{f(t)\} = \frac{A}{2i}\Bigl[\mathcal{F}\{e^{i\omega_{0}t}\} -\mathcal{F}\{e^{-i\omega_{0}t}\}\Bigr].

Passo 4

Usamos
\mathcal{F}\{e^{i\omega_{0}t}\} =2\pi\,\delta(\omega-\omega_{0}), \qquad \mathcal{F}\{e^{-i\omega_{0}t}\} =2\pi\,\delta(\omega+\omega_{0}).
Substituindo:
\mathcal{F}\{f(t)\} =\frac{A}{2i}\Bigl[2\pi\,\delta(\omega-\omega_{0}) -2\pi\,\delta(\omega+\omega_{0})\Bigr] = \frac{A\pi}{i}\bigl[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})\bigr].

Resposta

\mathcal{F}\{A\sin(\omega_{0}t)\} =\frac{A\pi}{i}\bigl[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})\bigr],
que também pode ser escrita como
iA\pi\bigl[\delta(\omega+\omega_{0})-\delta(\omega-\omega_{0})\bigr].

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