1- (2.0pts) Na transformaçăo de coordenadas cartesianas y^{k}=\{x, y, z\} para coordenadas esféricas x^{k}=\{r, \theta, \varphi\} :
(a) Determine as componentes de g_{m n}.
(b) Escreva a expressăo para a métrica do espaço, definida por d s^{2}=g_{m n} d x^{m} d x^{n}.
(c) Obtenha as componentes fisicas v_{(m)} do vetor velocidade, v^{m}=\frac{d x^{m}}{d t}

Passo 1

O enunciado pede, na mudança de coordenadas cartesianas \{x,y,z\} para esféricas \{r,\theta,\varphi\}, (a) as componentes g_{mn} da métrica, (b) a forma de ds^2=g_{mn}\,dx^m\,dx^n e (c) as componentes físicas v_{(m)} do vetor velocidade v^m = \frac{dx^m}{dt}. Vamos usar o critério de que, em coordenadas cartesianas, a métrica é \delta_{ij} e aplicar
g_{mn} \;=\;\delta_{ij}\,\frac{\partial y^i}{\partial x^m}\,\frac{\partial y^j}{\partial x^n}
para obter g_{mn} em esféricas.

Passo 2

Escrevemos a transformação
y^1 = x = r\sin\theta\cos\varphi,\quad y^2 = y = r\sin\theta\sin\varphi,\quad y^3 = z = r\cos\theta
e calculamos as derivadas parciais necessárias. Das simetrias e do cálculo direto obtém-se
g_{rr} = 1,\quad g_{r\theta}=g_{r\varphi}=0,\quad g_{\theta\theta}=r^2,\quad g_{\theta\varphi}=0,\quad g_{\varphi\varphi}=r^2\sin^2\theta.

Passo 3

Substituindo essas componentes na definição
ds^2 = g_{mn}\,dx^m\,dx^n
chegamos à expressão usual para a métrica esférica:
ds^2 = dr^2 + r^2\,d\theta^2 + r^2\sin^2\!\theta\,d\varphi^2.

Passo 4

Para obter as componentes físicas v_{(m)} usamos que, num referencial ortonormal, cada componente é
v_{(\alpha)} = \sqrt{|g_{\alpha\alpha}|}\;v^\alpha,
sem soma em \alpha. Assim
v_{(r)} = 1\cdot \frac{dr}{dt},\quad v_{(\theta)} = r\;\frac{d\theta}{dt},\quad v_{(\varphi)} = r\sin\theta\;\frac{d\varphi}{dt}.

Resposta

(a) As únicas componentes não nulas de g_{mn} são
g_{rr}=1,\quad g_{\theta\theta}=r^2,\quad g_{\varphi\varphi}=r^2\sin^2\theta.
(b)
ds^2 = dr^2 + r^2\,d\theta^2 + r^2\sin^2\!\theta\,d\varphi^2.
(c)
v_{(r)} = \frac{dr}{dt},\quad v_{(\theta)} = r\,\frac{d\theta}{dt},\quad v_{(\varphi)} = r\sin\theta\,\frac{d\varphi}{dt}.

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