1- (2.0pts) Na transformaçăo de coordenadas cartesianas
para coordenadas esféricas
:
(a) Determine as componentes de
.
(b) Escreva a expressăo para a métrica do espaço, definida por
.
(c) Obtenha as componentes fisicas
do vetor velocidade,
(a) Determine as componentes de
(b) Escreva a expressăo para a métrica do espaço, definida por
(c) Obtenha as componentes fisicas
Passo 1
O enunciado pede, na mudança de coordenadas cartesianas
para esféricas
, (a) as componentes
da métrica, (b) a forma de
e (c) as componentes físicas
do vetor velocidade
. Vamos usar o critério de que, em coordenadas cartesianas, a métrica é
e aplicar
para obter
em esféricas.
Passo 2
Escrevemos a transformação
e calculamos as derivadas parciais necessárias. Das simetrias e do cálculo direto obtém-se
Passo 3
Substituindo essas componentes na definição
chegamos à expressão usual para a métrica esférica:
Passo 4
Para obter as componentes físicas
usamos que, num referencial ortonormal, cada componente é
sem soma em
. Assim
Resposta
(a) As únicas componentes não nulas de
são
(b)
(c)