[1,0] Calcular o limite da seguinte seqüência:
a_{n+1}=a_{n}\left(3 b+a_{n}^{2}\right) /\left(3 a_{n}^{2}+b\right), com b>0, a_{1}=1, n=1,2, \ldots.

Passo 1

O enunciado define a sequência recursiva com parâmetro b>0:
a_{n+1}=a_{n}\,\frac{3b+a_{n}^{2}}{3a_{n}^{2}+b},\qquad a_{1}=1,\qquad n=1,2,\ldots
O que nos é pedido: calcular \lim_{n\to\infty} a_n.
Informações importantes dadas:
  • b>0.
  • a_1=1.
  • A relação de recorrência que fornece a_{n+1} em função de a_n.

Passo 2

Mostrar que todos os termos são positivos (isso ajuda a excluir limites negativos). Vou definir a função de iteração
f(x)=x\,\frac{3b+x^{2}}{3x^{2}+b},
de modo que a_{n+1}=f(a_n). Como b>0 e x=a_n aparece multiplicando fração com numerador e denominador positivos sempre que x>0, temos f(x)>0 para todo x>0. Já que a_1=1>0, por indução a_n>0 para todo n.

Passo 3

Analisar o sinal de f(x)-x para entender se a sequência cresce ou decresce. Calculo:
f(x)-x = x\left(\frac{3b+x^{2}}{3x^{2}+b}-1\right) = x\left(\frac{3b+x^{2}-3x^{2}-b}{3x^{2}+b}\right) = \frac{2x(b-x^{2})}{3x^{2}+b}.
Portanto o sinal de f(x)-x é o mesmo do sinal de b-x^{2} (já que x>0 e 3x^{2}+b>0). Consequências imediatas:
  • Se x<\sqrt{b} então f(x)-x>0, isto é, f(x)>x.
  • Se x>\sqrt{b} então f(x)-x<0, isto é, f(x)<x.
  • Se x=\sqrt{b} então f(x)=x (ponto fixo).

Passo 4

Aplicar isso à sequência iniciada em a_1=1. Há três subcasos a considerar, dependendo de b:
  • Se b=1, então \sqrt{b}=1 e a_1=\sqrt{b}. Então a_1 já é ponto fixo e a_n=1 para todo n, logo o limite é 1.
  • Se b>1, então \sqrt{b}>1=a_1. Pelo resultado do passo anterior, a_2=f(a_1)>a_1. Mais geralmente, enquanto a_n<\sqrt{b} teremos a_{n+1}>a_n. Assim a sequência é estritamente crescente até, no máximo, \sqrt{b}.
  • Se 0<b<1, então \sqrt{b}<1=a_1. Pelo mesmo argumento, enquanto a_n>\sqrt{b} teremos a_{n+1}<a_n. Assim a sequência é estritamente decrescente até, no mínimo, \sqrt{b}.

Passo 5

Mostrar que a sequência permanece sempre no intervalo entre 0 e \sqrt{b} no caso crescente, ou entre \sqrt{b} e +\infty no caso decrescente — isto é, a imagem por f preserva o lado relativo a \sqrt{b}. Precisamos provar, por exemplo, que se 0<x<\sqrt{b} então x<f(x)<\sqrt{b}.
Calculo para verificar f(x)<\sqrt{b}. Considero a diferença b-f(x)^{2}. Fazendo contas (mostrando passo a passo):
f(x)^{2}=x^{2}\frac{(3b+x^{2})^{2}}{(3x^{2}+b)^{2}},
então
b-f(x)^{2} = \frac{b(3x^{2}+b)^{2}-x^{2}(3b+x^{2})^{2}}{(3x^{2}+b)^{2}}.
Expandindo e simplificando o numerador (é um pouco de álgebra, mas importante): o numerador é exatamente
b^{3}-3b^{2}x^{2}+3b x^{4}-x^{6}=(b-x^{2})^{3}.
Logo
b-f(x)^{2}=\frac{(b-x^{2})^{3}}{(3x^{2}+b)^{2}}.
Como o denominador é positivo, o sinal de b-f(x)^{2} é o mesmo de (b-x^{2})^{3}. Assim, se x^{2}<b então b-f(x)^{2}>0, ou seja f(x)^{2}<b e portanto f(x)<\sqrt{b}. Juntando com o resultado do passo 3 (que dá f(x)>x quando x<\sqrt{b}), concluímos x<f(x)<\sqrt{b}. O caso x>\sqrt{b} é análogo e dá \sqrt{b}<f(x)<x.

Passo 6

Concluir monotonia e limite usando o teorema das sequências monótonas e limitadas. Pelos passos anteriores:
  • Se b>1: a_1<\sqrt{b} e a sequência é crescente e fica sempre <\sqrt{b}. Logo é crescente e limitada superiormente por \sqrt{b} e, por consequência, convergente.
  • Se 0<b<1: a_1>\sqrt{b} e a sequência é decrescente e fica sempre >\sqrt{b}. Logo é decrescente e limitada inferiormente por \sqrt{b} e, por consequência, convergente.
  • Se b=1: sequência constante =1, trivialmente convergente.
Portanto em todos os casos a sequência converge a um limite finito L\ge0.

Passo 7

Determinar o valor do limite L. Como a_n\to L e a relação é contínua, ao passar ao limite na recorrência obtemos
L = L\,\frac{3b+L^{2}}{3L^{2}+b}.
Se L=0 essa equação é satisfeita; caso L\neq0 podemos dividir por L e obter
1=\frac{3b+L^{2}}{3L^{2}+b}\quad\Longrightarrow\quad 3L^{2}+b=3b+L^{2}\quad\Longrightarrow\quad L^{2}=b.
Logo as possíveis soluções são L=0 ou L=\pm\sqrt{b}. Mas já provamos que todos os a_n>0, então o limite não pode ser negativo; falta verificar se L=0 pode ocorrer. Observe que para x próximo de 0 temos
f(x)=x\frac{3b+x^{2}}{3x^{2}+b}\approx x\frac{3b}{b}=3x,
logo f(x)>x quando x é pequeno e positivo — isto mostra que 0 é um ponto instável e a sequência, iniciada em a_1=1>0, não tende a 0. Portanto a única possibilidade compatível é
L=\sqrt{b}.

Passo 8

Resumo final: a sequência é positiva, monotônica (cresce se a_1<\sqrt{b}, decresce se a_1>\sqrt{b}, fixa se a_1=\sqrt{b}), permanece sempre do mesmo lado de \sqrt{b} e é limitada, logo converge. O limite satisfaz L=\sqrt{b}, que é o único limite positivo compatível com a recorrência dado a_1=1.

Resposta

\sqrt{b}

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