[1,0] Calcular o limite da seguinte seqüência:
, com
.
Passo 1
O enunciado define a sequência recursiva com parâmetro
:
O que nos é pedido: calcular
.
Informações importantes dadas:
Informações importantes dadas:
-
. -
. - A relação de recorrência que fornece
em função de .
Passo 2
Mostrar que todos os termos são positivos (isso ajuda a excluir limites negativos). Vou definir a função de iteração
de modo que
. Como
e
aparece multiplicando fração com numerador e denominador positivos sempre que
, temos
para todo
. Já que
, por indução
para todo
.
Passo 3
Analisar o sinal de
para entender se a sequência cresce ou decresce. Calculo:
Portanto o sinal de
é o mesmo do sinal de
(já que
e
). Consequências imediatas:
- Se
então , isto é, . - Se
então , isto é, . - Se
então (ponto fixo).
Passo 4
Aplicar isso à sequência iniciada em
. Há três subcasos a considerar, dependendo de
:
- Se
, então e . Então já é ponto fixo e para todo , logo o limite é . - Se
, então . Pelo resultado do passo anterior, . Mais geralmente, enquanto teremos . Assim a sequência é estritamente crescente até, no máximo, . - Se
, então . Pelo mesmo argumento, enquanto teremos . Assim a sequência é estritamente decrescente até, no mínimo, .
Passo 5
Mostrar que a sequência permanece sempre no intervalo entre
e
no caso crescente, ou entre
e
no caso decrescente — isto é, a imagem por
preserva o lado relativo a
. Precisamos provar, por exemplo, que se
então
.
Calculo para verificar
. Considero a diferença
. Fazendo contas (mostrando passo a passo):
então
Expandindo e simplificando o numerador (é um pouco de álgebra, mas importante): o numerador é exatamente
Logo
Como o denominador é positivo, o sinal de
é o mesmo de
. Assim, se
então
, ou seja
e portanto
. Juntando com o resultado do passo 3 (que dá
quando
), concluímos
. O caso
é análogo e dá
.
Passo 6
Concluir monotonia e limite usando o teorema das sequências monótonas e limitadas. Pelos passos anteriores:
- Se
: e a sequência é crescente e fica sempre . Logo é crescente e limitada superiormente por e, por consequência, convergente. - Se
: e a sequência é decrescente e fica sempre . Logo é decrescente e limitada inferiormente por e, por consequência, convergente. - Se
: sequência constante , trivialmente convergente.
Portanto em todos os casos a sequência converge a um limite finito
.
Passo 7
Determinar o valor do limite
. Como
e a relação é contínua, ao passar ao limite na recorrência obtemos
Se
essa equação é satisfeita; caso
podemos dividir por
e obter
Logo as possíveis soluções são
ou
. Mas já provamos que todos os
, então o limite não pode ser negativo; falta verificar se
pode ocorrer. Observe que para
próximo de
temos
logo
quando
é pequeno e positivo — isto mostra que
é um ponto instável e a sequência, iniciada em
, não tende a
. Portanto a única possibilidade compatível é
Passo 8
Resumo final: a sequência é positiva, monotônica (cresce se
, decresce se
, fixa se
), permanece sempre do mesmo lado de
e é limitada, logo converge. O limite satisfaz
, que é o único limite positivo compatível com a recorrência dado
.