Se A é uma matriz 3 \times 5, quais são os possíveis valores da nulidade de A ? E se A for 4 \times 2 ?
Passo 1
O enunciado dá duas situações e pede, para cada uma, os possíveis valores da nulidade da matriz:
Situação (a): A é uma matriz de dimensão 3\times5. Pergunta: quais são os possíveis valores da nulidade de A?
Situação (b): A é uma matriz de dimensão 4\times2. Pergunta: quais são os possíveis valores da nulidade de A?
Informações explícitas que temos do enunciado:
No primeiro caso, número de linhas m=3 e número de colunas n=5.
No segundo caso, m=4 e n=2.
Passo 2
Primeiro, o que é nulidade? Vou explicar devagar e de forma concreta.
A nulidade de uma matriz A (também chamada dimensão do núcleo) é a dimensão do conjunto
\{x\in\mathbb{R}^n \mid A x = 0\},
ou seja, quantos graus de liberdade (variáveis livres) tem a solução do sistema homogêneo A x=0. Em termos simples: nulidade = número de variáveis livres quando se resolve A x=0.
O posto (ou rank) de A, que denoto por \operatorname{rank}(A), é a dimensão do espaço coluna (o número de colunas linearmente independentes). É um número inteiro entre 0 e \min(m,n).
Agora a relação fundamental (teorema da dimensão para transformações lineares / teorema posto-nulidade):
\operatorname{rank}(A) + \operatorname{nulidade}(A) = n,
onde n é o número de colunas de A. Aqui:
\operatorname{rank}(A) é o número de pivôs (colunas independentes),
\operatorname{nulidade}(A) é o número de colunas que não têm pivô (variáveis livres).
Vou explicar o porquê rápido e intuitivo: numa matriz m\times n em escalonada, cada pivô fixa uma variável (coluna correspondente) e reduz uma liberdade; as colunas sem pivô correspondem a variáveis livres que geram o núcleo. O total de colunas n se divide então entre pivôs (posto) e livres (nulidade).
Passo 3
Agora uma observação importante sobre os valores possíveis do posto:
0 \le \operatorname{rank}(A) \le \min(m,n).
Isto porque não se pode ter mais colunas independentes do que o número de linhas (cada vetor coluna vive em \mathbb{R}^m) nem mais do que o próprio número de colunas.
Usando a identidade posto-nulidade, podemos transformar essa desigualdade em uma para a nulidade. Como
\operatorname{nulidade}(A) = n - \operatorname{rank}(A),
e \operatorname{rank}(A) varia entre 0 e \min(m,n), então
n - \min(m,n) \le \operatorname{nulidade}(A) \le n.
Ou seja, a nulidade varia entre n-\min(m,n) (caso o posto seja o máximo possível) e n (caso o posto seja zero).
Passo 4
Aplicando ao caso 3\times5 (onde m=3 e n=5):
\min(m,n)=\min(3,5)=3.
Logo \operatorname{rank}(A) pode ser 0,1,2 ou 3.
Pela relação \operatorname{nulidade}(A)=n-\operatorname{rank}(A) obtemos os valores possíveis:\operatorname{nulidade}(A)\in\{5-0,\;5-1,\;5-2,\;5-3\}=\{5,4,3,2\}.
Interpretação prática com exemplos rápidos:
Nulidade 5: ocorre se \operatorname{rank}(A)=0, por exemplo a matriz zero 3\times5 — então todo x\in\mathbb{R}^5 satisfaz Ax=0.
Nulidade 2: ocorre se \operatorname{rank}(A)=3 (posto máximo). Exemplo concreto: tomarA=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.Aqui as três primeiras colunas formam uma base de \mathbb{R}^3, o posto é 3 e as duas últimas colunas são nulas, logo as duas últimas variáveis são livres → nulidade =2.
Valores intermediários 3 e 4 ocorrem para posto 2 e 1, respectivamente — basta construir matrizes com exatamente esse número de colunas independentes.
Passo 5
Aplicando ao caso 4\times2 (onde m=4 e n=2):
\min(m,n)=\min(4,2)=2.
Assim \operatorname{rank}(A) pode ser 0,1 ou 2.
Pela relação \operatorname{nulidade}(A)=n-\operatorname{rank}(A) obtemos:\operatorname{nulidade}(A)\in\{2-0,\;2-1,\;2-2\}=\{2,1,0\}.
Exemplos rápidos:
Nulidade 2: matriz zero 4\times2.
Nulidade 0: posto máximo 2; por exemplo uma matriz cujas duas colunas sejam independentes (duas colunas linearly independent em \mathbb{R}^4).
Nulidade 1: posto 1; por exemplo segunda coluna múltipla da primeira.
Passo 6
Resumo e dica para a prova (anotação curta que ajuda a fixar): para uma matriz m\times n sempre vale
portanto os possíveis valores inteiros da nulidade são todos os inteiros de n-\min(m,n) até n. Isso resolve qualquer caso parecido rápido — só calcule n e \min(m,n).
Resposta
\text{Para }A\text{ de }3\times5:\\ \operatorname{nulidade}(A)\in\{2,3,4,5\}
\text{Para }A\text{ de }4\times2:\\ \operatorname{nulidade}(A)\in\{0,1,2\}