[1,6] Mostrar que a seguinte série infinita converge para 1/6:
.
Passo 1
O enunciado dá a série infinita
e pede para mostrar que essa série converge e que seu valor é
.
Informações relevantes:
- O termo genérico da série é
para . - A tarefa é calcular a soma infinita (ou seja, o limite das somas parciais) e provar que ela é igual a
.
Passo 2
Vamos decompor o termo genérico em frações parciais — isso é um truque comum quando aparecem produtos lineares no denominador e costuma levar a uma soma telescópica.
Queremos encontrar constantes
Para determinar
e
multiplicamos ambos os lados por
e obtemos a identidade (em
):
Agora desenvolvemos o lado direito e agrupamos os termos em
e termos constantes:
Para que essa igualdade valha para todo
, os coeficientes de
e os termos constantes devem coincidir dos dois lados. O lado esquerdo é
. Assim resolvemos o sistema
Da primeira equação vem
.]
Passo 3
Substituindo
e
na decomposição, obtemos uma forma telescópica do termo:
Explicar o que isso significa: cada termo é a diferença de dois termos consecutivos de uma sequência indexada por
, multiplicada por
. Quando somamos muitos termos esses termos intermediários se cancelam (efeito telescópico). Para ver isso explicitamente, escrevamos as primeiras parcelas da soma parcial
:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante até
:
Somando tudo de
até
os termos intermediários
cancelam em pares, restando apenas o primeiro pedaço do primeiro termo e o segundo pedaço do último termo.
Passo 4
Usando o cancelamento telescópico obtemos diretamente a expressão da soma parcial
:
Agora passamos ao limite quando
. Note que
pois o denominador cresce sem limite. Portanto
Isso mostra que a série converge e que sua soma é
.
Passo 5
Recapitulando de forma curta: decomposição em frações parciais levou a
a soma parcial telescopa e tem limite
quando o número de termos vai para o infinito. Então a série converge para
.