Determinar a derivada da função arco-tangente hiperbólico usando o método da função inversa.
Passo 1
Então, o exercício pede para determinar a derivada da função arco-tangente hiperbólico, usando o método da função inversa. Isso significa que vamos calcular a derivada da função
, que é a função inversa da função tangente hiperbólica
. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções inversas e conhecer um pouco sobre funções hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função inversa. Se temos uma função
e sua inversa
, então
. No nosso caso, se
, então
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a regra da derivada da função inversa, que diz que:
Isso significa que precisamos primeiro encontrar
.
Passo 4
Sabemos que
. Vamos derivar ambos os lados em relação a
:
A derivada da tangente hiperbólica é a secante hiperbólica ao quadrado, ou seja:
Passo 5
Então, substituindo na regra da função inversa:
Mas sabemos que
. Como
, podemos substituir:
Resposta
A derivada da função arco-tangente hiperbólico é: