[1,0] Determinar a derivada da função arco-tangente hiperbólico usando o método da função inversa.

Passo 1

Então, o exercício pede para determinar a derivada da função arco-tangente hiperbólico, usando o método da função inversa. Isso significa que vamos calcular a derivada da função artanh(x), que é a função inversa da função tangente hiperbólica tanh(x). Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções inversas e conhecer um pouco sobre funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função inversa. Se temos uma função f(x) e sua inversa f^-1(x), então f(f^-1(x)) = x. No nosso caso, se y = artanh(x), então x = tanh(y).

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, dydx. Para isso, vamos usar a regra da derivada da função inversa, que diz que:
dydx = 1dxdy
Isso significa que precisamos primeiro encontrar dxdy.

Passo 4

Sabemos que x = tanh(y). Vamos derivar ambos os lados em relação a y:
dxdy = ddy tanh(y)
A derivada da tangente hiperbólica é a secante hiperbólica ao quadrado, ou seja:
dxdy = sech^2(y)

Passo 5

Então, substituindo na regra da função inversa:
dydx = 1sech^2(y)
Mas sabemos que sech^2(y) = 1 - tanh^2(y). Como x = tanh(y), podemos substituir:
dydx = 11 - x^2

Resposta

A derivada da função arco-tangente hiperbólico é:
ddx artanh(x) = 11 - x^2

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