Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=ln (x+raizx^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=lnl(x+raizx^2+1r),
usando as regras de derivação (regra da cadeia, soma e derivada de funções elementares).

Passo 2

Aplicamos a derivada do logaritmo natural: se f(x)=ln(g(x)), então
f'(x)=g'(x)g(x)
Aqui g(x)=x+raizx^2+1.

Passo 3

Agora derivamos g(x). Como g(x)=x + h(x) com h(x)=raizx^2+1, temos
g'(x)=1 + h'(x)
E para h(x)=raizx^2+1=(x^2+1)^1/2, pela regra da cadeia:
h'(x)=12(x^2+1)^-1/2cdot 2x = xraizx^2+1

Passo 4

Substituindo em f'(x)=g'(x)/g(x), obtemos
f'(x) =1 + dfracxraizx^2+1,x+raizx^2+1,

Passo 5

Para simplificar, escrevemos o numerador com denominador comum raizx^2+1:
1 + xraizx^2+1 =raizx^2+1+xraizx^2+1
Logo
f'(x) =raizx^2+1+xraizx^2+1x+raizx^2+1 =raizx^2+1+xraizx^2+1,l(x+raizx^2+1r) =1raizx^2+1

Resposta

f'(x)=1raizx^2+1

Exercícios relacionados