Sejam F(x, y)=(e^-y-2 x,-x e^-y-sin (y)) um campo e C uma curva que liga os pontos A=(pi, 0) e B=(0, pi) no sentido de A para B. Use o Teorema Fundamental da Integral de Linha para calcular integralC F d r.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integralCFcdot d r
onde
F(x,y)=l(e^-y-2x,,-x e^-y-sin(y)r)
e C é qualquer curva de A=(pi,0) até B=(0,pi). Como queremos usar o Teorema Fundamental da Integral de Linha, nosso primeiro passo é verificar se F é um campo conservativo, pois aí
integralCFcdot dr=phi(B)-phi(A)
para alguma potencial phi.

Passo 2

Para checar se F=(P,Q) é conservativo, com
P(x,y)=e^-y-2x, Q(x,y)=-x e^-y-sin(y),
verificamos se
partial Ppartial y ;=; partial Qpartial x
Calculando,
partial Ppartial y =partialpartial yl(e^-y-2xr) =-e^-y,
partial Qpartial x =partialpartial xl(-x e^-y-sin(y)r) =-e^-y
Como são iguais e o domínio é todo R^2, F é conservativo.

Passo 3

Agora achamos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = P(x,y) =e^-y-2x
Integrando em relação a x,
phi(x,y) =integrall(e^-y-2xr),dx = x e^-y-x^2 + h(y),
onde h(y) é uma função ainda a determinar.

Passo 4

Para encontrar h(y), usamos
partial phipartial y = -x e^-y + h'(y)
que deve ser igual a Q(x,y)=-x e^-y-sin(y). Assim
-x e^-y + h'(y) = -x e^-y - sin(y) Longrightarrow h'(y) = -sin(y)
Integrando em y,
h(y)=cos(y)+C
Podemos tomar C=0 sem alterar a integral, logo
phi(x,y)=x e^-y-x^2+cos(y)

Passo 5

Usando o Teorema Fundamental da Integral de Linha,
integralCFcdot dr =phil(Br)-phil(Ar)
Aqui
phi(0,pi)=0cdot e^-pi-0^2+cos(pi)=-1,
phi(pi,0)=pi e^0-pi^2+cos(0) =pi-pi^2+1
Logo
integralCFcdot dr =-1-l(pi-pi^2+1r) =pi^2-pi-2

Resposta

pi^2 - pi - 2

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