Use o Teorema de Green para calcular a integral integralC F d r quando F(x, y)=(e^x sin (y)+ y, e^x cos (y)+4 x) e C é o arco de parábola y=1-x^2 saindo de (1,0) e chegando em (-1,0).
x= pm raiz1-y

Passo 1

O enunciado pede integralCFcdot dr onde
F(x,y)=l(P,Qr) =l(e^xsin y+y,;e^xcos y+4xr)
e C é o arco da parábola y=1-x^2 de (1,0) a (-1,0).
Vamos usar o Teorema de Green fechando C pelo segmento L do eixo x de (-1,0) a (1,0), definindo a fronteira positiva partial D=Ccup L.

Passo 2

Calculamos o integrando de Green:
partial Qpartial x =partialpartial xl(e^xcos y+4xr) =e^xcos y+4,
partial Ppartial y =partialpartial yl(e^xsin y+yr) =e^xcos y+1
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partial Qpartial x-partial Ppartial y =(e^xcos y+4)-(e^xcos y+1)=3

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
ointpartial DFcdot dr =integral duplaDgl(partial Qpartial x-partial Ppartial ygr),dA =integral duplaD3,dA =3;Área(D) Á

Passo 4

A região D é dada por
-1<= x<=1, 0<= y<=1-x^2
Então
Área(D) =integralx=-1^1(1-x^2),dx =l[x-tfracx^33r]-1^1 =l(1-tfrac13r)-l(-1+tfrac13r) =tfrac43 Á
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ointpartial DFcdot dr =3cdottfrac43=4

Passo 5

A fronteira partial D é a união orientada positivamente de C (parábola de (1,0) a (-1,0)) e de L (eixo x de (-1,0) a (1,0)). Logo
ointpartial DFcdot dr =integralCFcdot dr+integralLFcdot dr =4

Passo 6

No segmento L, temos y=0, x=t, tin[-1,1], e
F(t,0)=l(0,;e^t+4tr), dr=(dt,0),
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integralLFcdot dr =integral-1^10cdot dt=0
Assim
integralCFcdot dr=4-0=4

Resposta

4

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