[2,0] Escreva o número 2,3 \overline{17}=2,317171717 \ldots como uma razão de inteiros.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número periódico 2,3\overline{17}=2,317171717\ldots como uma razão de inteiros. O conteúdo é a transformação de decimal periódico em fração, usando a técnica de elevar a potências de 10 para “alinhar” as partes não repetida e repetida e então subtrair para eliminar a dízima.

Passo 2

Seja
x = 2,317171717\ldots
onde a parte “17” começa a repetir imediatamente após o dígito 3.

Passo 3

Multiplicamos x por 10 para deslocar a vírgula até logo antes do início da repetição:
10x = 23,17171717\ldots

Passo 4

Como o período “17” tem 2 dígitos, multiplicamos x também por 10^3=1000 para deslocar a vírgula três casas, de modo que a parte decimal de 1000x seja a mesma de 10x:
1000x = 2317,17171717\ldots

Passo 5

Agora subtraímos as duas equações para eliminar a parte periódica:
1000x - 10x = 2317,171717\ldots - 23,171717\ldots
990x = 2294

Passo 6

Isolando x e simplificando a fração:
x = \frac{2294}{990} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{2294 \div 2}{990 \div 2} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1147}{495}.

Resposta

\frac{1147}{495}

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