Nos Problemas 13-18, encontre a solução geral para cada equação diferencial.
2 \frac{d^{4} y}{d x^{4}}+3 \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+6 \frac{d y}{d x}-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes
2 \frac{d^{4}y}{dx^{4}} + 3 \frac{d^{3}y}{dx^{3}} + 2 \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 6 \frac{dy}{dx} - 4y = 0.
Para resolver, usamos o método da equação característica, encontrando as raízes e montando a combinação linear de exponenciais (e, no caso de raízes complexas, de funções trigonométricas).

Passo 2

Substituindo y=e^{rx} na EDO, obtemos a equação característica
2r^4 + 3r^3 + 2r^2 + 6r - 4 = 0.

Passo 3

Testamos r = -2:
2(-2)^4 + 3(-2)^3 + 2(-2)^2 + 6(-2) - 4 = 32 -24 + 8 -12 -4 = 0,
logo r = -2 é raiz e (r+2) é fator. Dividindo o polinômio por r+2 fica
2r^3 - r^2 + 4r - 2 = 0.

Passo 4

Testamos r = \tfrac12 na cúbica:
2\Bigl(\tfrac12\Bigr)^3 - \Bigl(\tfrac12\Bigr)^2 + 4\Bigl(\tfrac12\Bigr) - 2 = \tfrac14 - \tfrac14 + 2 - 2 = 0,
logo r = \tfrac12 é raiz e (r - \tfrac12) é fator. Dividindo por r - \tfrac12 fica
2r^2 + 4 = 0.

Passo 5

Da equação quadrática
2r^2 + 4 = 0
vem
r^2 = -2 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm i\sqrt{2}.

Passo 6

As raízes da característica são
r_1 = -2,\quad r_2 = \tfrac12,\quad r_3 = i\sqrt2,\quad r_4 = -\,i\sqrt2.
Portanto, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{\frac{x}{2}} + C_3 e^{i\sqrt2\,x} + C_4 e^{-\,i\sqrt2\,x}.
Agrupando as partes complexas em funções reais, obtemos
y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{\frac{x}{2}} + A \cos\bigl(\sqrt2\,x\bigr) + B \sin\bigl(\sqrt2\,x\bigr).

Resposta

y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{\frac{x}{2}} + A \cos\bigl(\sqrt2\,x\bigr) + B \sin\bigl(\sqrt2\,x\bigr).

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