Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
f(z)=z^2-2 z+2z-2, 1<|z-1|

Passo 1

A questão pede pra expandir a função f(z)=z^2-2z+2z-2 em série de Laurent válida no anel 1<|z-1|. O ponto de expansão é z0=1, e vamos usar divisão de polinômios e a série geométrica para obter potências negativas de (z-1).

Passo 2

Definimos w=z-1, assim z=w+1. Reescrevendo f em função de w temos:
f(z)=(w+1)^2-2(w+1)+2(w+1)-2 = w^2+1w-1

Passo 3

Fazemos divisão de polinômios em w:
w^2+1w-1 = w+1 + 2w-1

Passo 4

Agora expandimos 1w-1 em série de potências negativas de w. Para |w|>1 valem os passos:
1w-1 = 1wcdot11-1/w = sumn=0^inftyw^-n-1 = sumn=1^inftyw^-n

Passo 5

Multiplicando por 2:
2w-1 = 2sumn=1^inftyw^-n

Passo 6

Voltando a z, ou seja w=z-1, juntamos tudo:
f(z) = w+1 + 2sumn=1^inftyw^-n = (z-1)+1 + 2sumn=1^infty(z-1)^-n = z + 2sumn=1^infty(z-1)^-n

Resposta

A expansão de Laurent de f(z) válida para |z-1|>1 é
f(z)=z , + ;2sumn=1^infty(z-1)^-n

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