Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
Passo 1
A questão pede pra expandir a função
em série de Laurent válida no anel
. O ponto de expansão é
, e vamos usar divisão de polinômios e a série geométrica para obter potências negativas de
.
Passo 2
Definimos
, assim
. Reescrevendo
em função de
temos:
Passo 3
Fazemos divisão de polinômios em
:
Passo 4
Agora expandimos
em série de potências negativas de
. Para
valem os passos:
Passo 5
Multiplicando por 2:
Passo 6
Voltando a
, ou seja
, juntamos tudo:
Resposta
A expansão de Laurent de
válida para
é