[1] [2.5 pontos] Considere as matriz A=[rrr1 & -3 & 0 0 & 4 & -2] e B=[l3 2 5]
(a) Verifique que 3 A1+2 A2+5 A3=A B, em que Aj é a j-ésima coluna de A.
(b) Considere ainda a matriz C=[rr1 & -1 3 & 0]. Encontre todas as matrizes D que comutam com a matriz C.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & -3 & 00 & 4 & -2
e o vetor coluna
B = 325
Na parte (a) queremos mostrar que a combinação linear das colunas de A com coeficientes dos elementos de B é igual ao produto AB. Na parte (b) somos levados a achar todas as matrizes DinR^2times2 que comutam com
C = 1 & -13 & 0,
isto é, tais que DC = CD.

Passo 2

Denotemos por Aj a j-ésima coluna de A. Então
A1 = 10, A2 = -34, A3 = 0-2
Formamos a combinação
3A1 + 2A2 + 5A3 =310 +2-34 +50-2
Calculando cada entrada,
3A1 + 2A2 + 5A3 = 3cdot1 + 2cdot(-3) + 5cdot0 3cdot0 + 2cdot4 + 5cdot(-2) = 3 -6 +00 +8 -10 = -3-2

Passo 3

Agora calculemos o produto
AB = 1 & -3 & 00 & 4 & -2 325
Multiplicando linha a linha,
AB = 1cdot3 + (-3)cdot2 + 0cdot5 0cdot3 + 4cdot2 + (-2)cdot5 =3 -6 +00 +8 -10 =-3-2

Passo 4

Comparando os resultados dos Passos 2 e 3, concluímos que
3A1 + 2A2 + 5A3 = AB,
como pedido na parte (a).

Passo 5

Para a parte (b), seja
uma matriz genérica . Queremos solucionar

Passo 6

Calculemos primeiro
Em seguida,

Passo 7

Igualando
Da primeira equação vem (3b = -c], isto é,

Da segunda obtemos

As outras duas equações são então satisfeitas automaticamente por essas escolhas.

Passo 8

Portanto as matrizes D que comutam com C são exatamente aquelas da forma
D = a & b-3b & a+b,
com a,binR.

Resposta

(a) ;3A1 + 2A2 + 5A3 = AB = l(-3,,-2r)^T\n
(b) As matrizes que comutam com C são
D = a & b-3b & a+b,
com a,binR.

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