[3] [3.0 pontos] Seja o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por T(x, y, z)=(x+y,-y, z).
(a) Mostre que o operador linear T é diagonalizável.
(b) Encontre a matriz de transformação na base de autovetores obtida no item (a). Justifique passos.
e pede: (a) mostrar que T é diagonalizável e (b) encontrar a matriz de T na base de autovetores. Para isso vamos calcular a matriz de T na base canônica, achar autovalores e autovetores, ver que geram \mathbb{R}^3 e escrever a matriz na base escolhida.
Passo 2
Vamos obter a matriz de T na base canônica e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1). Para (x,y,z) temos
Os três vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^3. Como cada um é autovetor de T, concluímos que T é diagonalizável.
Logo a matriz de T em \mathcal{B} é diagonal com entradas os autovalores.
Resposta
A) T é diagonalizável pois possui três autovetores que formam base de \mathbb{R}^3.
B) Se \mathcal{B}=(v_1,v_2,v_3) com v_1=(1,0,0), v_2=(0,0,1), v_3=(1,-2,0), a matriz de T em \mathcal{B} é