[3] [3.0 pontos] Seja o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por T(x, y, z)=(x+y,-y, z).
(a) Mostre que o operador linear T é diagonalizável.
(b) Encontre a matriz de transformação na base de autovetores obtida no item (a). Justifique passos.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\quad T(x,y,z)=(x+y,\,-y,\,z)
e pede: (a) mostrar que T é diagonalizável e (b) encontrar a matriz de T na base de autovetores. Para isso vamos calcular a matriz de T na base canônica, achar autovalores e autovetores, ver que geram \mathbb{R}^3 e escrever a matriz na base escolhida.

Passo 2

Vamos obter a matriz de T na base canônica e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1). Para (x,y,z) temos
T(x,y,z) =\begin{pmatrix}1&1&0\\\ 0&-1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
Logo a matriz é
A=\begin{pmatrix}1&1&0\\\ 0&-1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda&1&0\\\ 0&-1-\lambda&0\\\ 0&0&1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(-1-\lambda)(1-\lambda).
Os autovalores são \lambda_1=1 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda_2=-1 (multiplicidade 1).

Passo 4

Obtemos o espaço próprio para \lambda=1 resolvendo (A-I)v=0:
\begin{pmatrix}0&1&0\\\ 0&-2&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\;y=0,\;x,z\text{ livres}.
Uma base de autovetores para \lambda=1 é
v_1=(1,0,0),\quad v_2=(0,0,1).
Para \lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0:
\begin{pmatrix}2&1&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\;y=-2x,\;z=0.
Um autovetor é
v_3=(1,-2,0).

Passo 5

Os três vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^3. Como cada um é autovetor de T, concluímos que T é diagonalizável.

Passo 6

Na base \mathcal{B}=(v_1,v_2,v_3) temos
T(v_1)=1\cdot v_1,\quad T(v_2)=1\cdot v_2,\quad T(v_3)=-1\cdot v_3.
Logo a matriz de T em \mathcal{B} é diagonal com entradas os autovalores.

Resposta

A) T é diagonalizável pois possui três autovetores que formam base de \mathbb{R}^3.
B) Se \mathcal{B}=(v_1,v_2,v_3) com v_1=(1,0,0), v_2=(0,0,1), v_3=(1,-2,0), a matriz de T em \mathcal{B} é
[T]_{\mathcal B}= \begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}.

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