[1,5] Considere a função
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}+1 \text { se } x<1 \\\ x+1 \text { se } x \geq 1 \end{array}\right.
Calcule
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}
se o limite existir.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} x^{2}+1, & x<1,\\\ x+1, & x\ge1, \end{cases}
e pede o valor do limite
\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}.
Esse limite é a razão incremental em torno de x=1 e só existe se as aproximações pela esquerda e pela direita coincidirem.

Passo 2

Vamos primeiro calcular o valor de f(1). Como 1\ge1, usamos o ramo x+1, logo
f(1)=1+1=2.

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda x\to1^-. Para x<1 temos f(x)=x^2+1, então
\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\frac{(x^2+1)-2}{x-1} =\frac{x^2-1}{x-1} =\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} =x+1.
Assim
\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =1+1=2.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita x\to1^+. Para x>1 usamos f(x)=x+1, então
\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\frac{(x+1)-2}{x-1} =\frac{x-1}{x-1} =1.
Logo
\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =1.

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes ( 2 à esquerda e 1 à direita), o limite geral não existe.

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} não existe.

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