Exercício 1.13
\int \frac{3}{(x+1)(1-2 x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{3}{(x+1)(1-2x)}\,dx
O método apropriado é decompor a função racional em frações parciais, pois o denominador é produto de dois fatores lineares distintos.

Passo 2

Escrevemos a decomposição
\frac{3}{(x+1)(1-2x)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{1-2x}.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(1-2x)\), obtemos \[3 = A(1-2x) + B(x+1).
Expandindo e agrupando em potência de x:
3 = (A+B) + (-2A+B)\,x.
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A + B = 3,\\\\ -2A + B = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem B=2A\]. Substituindo na primeira, \(A+2A=3\Rightarrow A=1 e B=2.

Passo 3

Substituindo A e B na integral, temos
\int \frac{3}{(x+1)(1-2x)}\,dx = \int \frac{1}{x+1}\,dx \;+\;\int \frac{2}{1-2x}\,dx.
A primeira integral é imediata:
\int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln\lvert x+1\rvert.
Para a segunda, note que a derivada de 1-2x é -2, logo
\int \frac{2}{1-2x}\,dx = -\int \frac{-2}{1-2x}\,dx = -\ln\lvert 1-2x\rvert.

Passo 4

Somando os resultados obtemos
\ln\lvert x+1\rvert \;-\;\ln\lvert 1-2x\rvert + C,
que também pode ser escrito como
\ln\!\biggl\lvert\frac{x+1}{1-2x}\biggr\rvert + C.

Resposta

\displaystyle \ln\lvert x+1\rvert - \ln\lvert 1-2x\rvert + C

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