Exercício 1.9 Calcule
\int \frac{d x}{x^{2}+x-2}
Res. \frac{1}{3} \ln |x-1|-\frac{1}{3} \ln |x+2|+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{2}+x-2}.
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais, pois o integrando é uma função racional cujo denominador é um polinômio de segundo grau fatorável.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador. Temos:
x^{2}+x-2 = (x-1)(x+2).

Passo 3

Em seguida, escrevemos a fração como soma de frações parciais:
\frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+2)\) dá \[1 = A(x+2) + B(x-1).
Isso implica o sistema para os coeficientes de x:
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ 2A - B = 1. \end{cases}
Da primeira equação (B=-A]. Substituindo na segunda:
2A - (-A) = 3A = 1 \implies A = \tfrac{1}{3},\quad B = -\tfrac{1}{3}.

Passo 4

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\frac{1}{x^{2}+x-2} = \frac{1/3}{x-1} - \frac{1/3}{x+2}.
Integramos termo a termo:
\int \frac{dx}{x^{2}+x-2} = \frac{1}{3}\int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{3}\int \frac{dx}{x+2}.
Cada integral é do tipo \int dx/(x-a)=\ln|x-a|, então
\int \frac{dx}{x^{2}+x-2} = \frac{1}{3}\ln\lvert x-1\rvert - \frac{1}{3}\ln\lvert x+2\rvert + C.

Resposta

\frac{1}{3}\ln\lvert x-1\rvert - \frac{1}{3}\ln\lvert x+2\rvert + C.

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