Mostre que
não é diferenciável em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
não é diferenciável em
. Vamos usar o conceito de diferenciabilidade em
, que exige existe uma aplicação linear
tal que
Passo 2
Primeiro, calculamos
e as derivadas parciais em
para determinar
.
Logo, o candidato a aplicação linear é
.
Passo 3
Para testar a diferenciabilidade, analisamos
Escolhemos a reta
. Então
e
. Substituindo,
Quando
, esse quociente vai a
, não a zero. Portanto a condição de diferenciabilidade falha.
Passo 4
Como não conseguimos fazer o quociente tender a zero, concluímos que
não é diferenciável em
.
Resposta
A função não satisfaz a definição de diferenciabilidade em (0,0), pois o limite do quociente de diferença não é zero. Portanto,
não é diferenciável em
.