Mostre que f(x, y)=raiz[3]x y,(x, y) in R^2 não é diferenciável em (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x,y)=raiz[3]xy não é diferenciável em (0,0). Vamos usar o conceito de diferenciabilidade em R^2, que exige existe uma aplicação linear L(x,y)=ax+by tal que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)raizx^2+y^2=0

Passo 2

Primeiro, calculamos f(0,0)=raiz[3]0cdot0=0 e as derivadas parciais em (0,0) para determinar L.
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00h=0,
fy(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h=limhto00h=0
Logo, o candidato a aplicação linear é L(x,y)=0.

Passo 3

Para testar a diferenciabilidade, analisamos
f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2=raiz[3]xyraizx^2+y^2
Escolhemos a reta y=x. Então xy=x^2 e raizx^2+y^2=raiz2,|x|. Substituindo,
raiz[3]x^2raiz2,|x|=|x|^2/3raiz2,|x|=1raiz2|x|^-1/3
Quando xto0, esse quociente vai a +infty, não a zero. Portanto a condição de diferenciabilidade falha.

Passo 4

Como não conseguimos fazer o quociente tender a zero, concluímos que f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função não satisfaz a definição de diferenciabilidade em (0,0), pois o limite do quociente de diferença não é zero. Portanto, f(x,y)=raiz[3]xy não é diferenciável em (0,0).

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