Seja
a fun\u00c3\u00a7\u00c3\u00a3o definida por
mostre que:
(a)
\u00c3\u00a9 cont\u00c3\u00ad\u00c2\u00adnua na origem
(b) as derivadas
e
existem em todo
, mas n\u00c3\u00a3o s\u00c3\u00a3o cont\u00c3\u00adnuas em
©
n\u00c3\u00a3o \u00c3\u00a9 diferenci\u00c3\u00a1vel na origem, isso contradiz o Lema Fundamental?
(a)
(b) as derivadas
©
Passo 1
O enunciado define a função
por
quando
e
. O objetivo é mostrar (a) continuidade em
, (b) existência das derivadas parciais em todo
e falta de continuidade delas em
, e © que
não é diferenciável em
e discutir o Lema Fundamental.
Passo 2
Para (a), estudamos
. Em coordenadas polares
temos
Como
Passo 3
Para (b), primeiro calculamos as parciais em
(0,0) :
Passo 4
Para
(x,y)neq(0,0) , usamos a regra do quociente:
Passo 5
Examinando
fx(x,y) ao aproximar
(x,y)to(0,0) pela reta
y=mx , obtém-se um limite que depende de
m (por exemplo
m=1 dá
3/2 ), não igual a
fx(0,0)=0 . Logo as parciais não são contínuas em
(0,0) .
Passo 6
Para ©, se
f fosse diferenciável em
(0,0) com diferencial linear
L(h,k)=0cdot h+0cdot k , deveríamos ter
Passo 7
Mas na direção
(t,t) temos
portanto não há diferenciabilidade em
Resposta
(a) f é contínua em (0,0).
(b) As derivadas parciais existem em todo ℝ², mas fₓ e fᵧ não são contínuas em (0,0).
© f não é diferenciável em (0,0); não há contradição com o Lema Fundamental, pois as parciais não são contínuas num entorno de (0,0).
(b) As derivadas parciais existem em todo ℝ², mas fₓ e fᵧ não são contínuas em (0,0).
© f não é diferenciável em (0,0); não há contradição com o Lema Fundamental, pois as parciais não são contínuas num entorno de (0,0).