Seja f(x, y)=l 3 x^2 yx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0) a fun\u00c3\u00a7\u00c3\u00a3o definida por
mostre que:
(a) \u00c3\u00a9 cont\u00c3\u00ad\u00c2\u00adnua na origem
(b) as derivadas e existem em todo , mas n\u00c3\u00a3o s\u00c3\u00a3o cont\u00c3\u00adnuas em
© n\u00c3\u00a3o \u00c3\u00a9 diferenci\u00c3\u00a1vel na origem, isso contradiz o Lema Fundamental?

Passo 1

O enunciado define a função f:R^2toR por f(x,y)=3x^2yx^2+y^2 quando (x,y)neq(0,0) e f(0,0)=0. O objetivo é mostrar (a) continuidade em (0,0), (b) existência das derivadas parciais em todo R^2 e falta de continuidade delas em (0,0), e © que f não é diferenciável em (0,0) e discutir o Lema Fundamental.

Passo 2

Para (a), estudamos lim(x,y)to(0,0)f(x,y). Em coordenadas polares (x=rcostheta,y=rsintheta) temos
|f(x,y)|=|3x^2yx^2+y^2|=3r^3|cos^2thetasintheta|r^2=3r|cos^2thetasintheta|<=3r
Como 3rto0 quando rto0, segue que f(x,y)to0=f(0,0), logo f é contínua em (0,0).

Passo 3

Para (b), primeiro calculamos as parciais em (0,0):
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00-0h=0,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=limkto00-0k=0

Passo 4

Para (x,y)neq(0,0), usamos a regra do quociente:
fx(x,y)=6xy(x^2+y^2)-3x^2y(2x)(x^2+y^2)^2, fy(x,y)=3x^2(x^2+y^2)-3x^2y(2y)(x^2+y^2)^2

Passo 5

Examinando fx(x,y) ao aproximar (x,y)to(0,0) pela reta y=mx, obtém-se um limite que depende de m (por exemplo m=1 3/2), não igual a fx(0,0)=0. Logo as parciais não são contínuas em (0,0).

Passo 6

Para ©, se f fosse diferenciável em (0,0) com diferencial linear L(h,k)=0cdot h+0cdot k, deveríamos ter
lim(h,k)to(0,0)f(h,k)-L(h,k)raizh^2+k^2=0

Passo 7

Mas na direção (t,t) temos
f(t,t)-0raiz2t=3t^2,t/(2t^2)raiz2t=3/2raiz2neq0,
portanto não há diferenciabilidade em (0,0). Isso não contradiz o Lema Fundamental, pois aquele exige que as derivadas parciais sejam contínuas num entorno de (0,0), condição que aqui falha.

Resposta

(a) f é contínua em (0,0).
(b) As derivadas parciais existem em todo ℝ², mas fₓ e fᵧ não são contínuas em (0,0).
© f não é diferenciável em (0,0); não há contradição com o Lema Fundamental, pois as parciais não são contínuas num entorno de (0,0).

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