[1,5pt ]A função posição de uma nave espacial é
r(t)=(3+t) i+(2+ln t) j+(7-4t^2+1) k
e as coordenadas de uma estação espacial são (6,4,9). O capitão quer que a nave atraque na estação espacial. Quando os motores da nave devem ser desligados?

Passo 1

O enunciado dá a posição da nave
r(t) = (3+t),i + l(2+ln tr),j + l(7 - 4t^2+1r),k
e as coordenadas da estação são (6,4,9). Como, após desligar os motores, a nave se desloca em linha reta com velocidade constante igual à sua velocidade instantânea, basta escolher o instante t0 em que a reta tangente à trajetória em r(t0) passa pela estação. Para isso, resolvemos
r(t0) + s,v(t0) = (6,4,9),
onde v(t)=r'(t) e s>0 é o tempo de voo após o corte dos motores.

Passo 2

Calculemos a velocidade
v(t) = r'(t) = ddtl[(3+t)r],i + ddtl[2+ln tr],j + ddtl[7 - 4t^2+1r],k
Logo,
v(t) = 1;i + 1t;j + 8t(t^2+1)^2;k

Passo 3

Escrevendo componente a componente em
r(t0) + s,v(t0) = (6,4,9),
temos o sistema
3 + t0 + s = 6, 2 + ln t0 + dfracst0 = 4, 7 - dfrac4t0^2+1 + s,dfrac8t0(t0^2+1)^2 = 9

Passo 4

Da primeira equação vem
s = 6 - 3 - t0 = 3 - t0
Substituindo na segunda:
2 + ln t0 + 3 - t0t0 = 4 ;Longrightarrow; t0(ln t0 -3)+3 = 0
Uma raiz evidente é t0=1, pois
1cdot(ln1 -3) +3 = 1cdot(0-3)+3 = 0

Passo 5

Falta verificar a terceira componente. Para t0=1 temos
s = 3 - 1 = 2,
e também
7 - 41^2+1 = 7 - 2 = 5, 8cdot1(1^2+1)^2 = 2,
de modo que
5 + 2cdot s = 5 + 2cdot2 = 9,
que coincide com a coordenada z=9. Logo tudo é consistente.

Resposta

O capitão deve desligar os motores em t=1.

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