Resolva as seguintes E.D.O’s usando separação de variáveis (verifique que de fato são separáveis);
(3) d y / d x=x^2 /(1-y^2)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = x^21 - y^2
usando o método de separação de variáveis. Esse método aplica-se quando conseguimos escrever a E.D.O. na forma
dydx = f(x),g(y),
permitindo isolar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro antes de integrar.

Passo 2

Verificamos que podemos escrever
dydx = underbracex^2f(x) ;cdot;underbrace11 - y^2g(y),
portanto a equação é de fato separável.

Passo 3

Isolamos as variáveis multiplicando ambos os lados por (1 - y^2),dx:
(1 - y^2),dy = x^2,dx

Passo 4

Integramos os dois lados:
integral (1 - y^2),dy ;=;integral x^2,dx

Passo 5

Calculamos as primitivas:
integral (1 - y^2),dy = integral 1,dy ;-;integral y^2,dy = y - y^33,
integral x^2,dx = x^33 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Igualando as duas expressões obtemos a solução implícita geral:
y ;-;y^33 ;=;x^33 + C

Resposta

y - y^33 = x^33 + C,
que é a forma implícita da família de soluções da E.D.O. dada.

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