Passo 1
A gente tem a equação diferencial de segunda ordem
Passo 2
Passo 3
com as condições iniciais
e
. O assunto é equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Para resolver, vamos achar primeiro a solução da parte homogênea usando a equação característica e depois uma solução particular via método dos coeficientes determinados.
Passo 4
Começando pela parte homogênea:
Passo 5
A equação característica é
Passo 6
Passo 7
cuja solução dá as raízes
. Então a solução homogênea é
Passo 8
Passo 9
Agora, para a solução particular, note que o termo forçante
tem a mesma frequência da homogênea (resonância). Por isso a gente multiplica o chute padrão por
. Vamos tentar
Passo 10
Passo 11
Calculando
(após derivar e simplificar) a gente encontra que os termos em
se cancelam e sobra
Passo 12
Passo 13
Comparando coeficientes dá
Passo 14
Passo 15
Então a solução particular é
Passo 16
Passo 17
Juntando tudo, a solução geral fica
Passo 18
Passo 19
Agora aplicamos as condições iniciais.
Passo 20
Substituindo
em
:
Passo 21
Passo 22
Derivando
e avaliando em
: