y^prime prime+4 y=3 sen 2 t y(0)=2 y^prime(0)=-1

Passo 1

A gente tem a equação diferencial de segunda ordem

Passo 2

y'' + 4y = 3 sin 2t

Passo 3

com as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-1. O assunto é equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Para resolver, vamos achar primeiro a solução da parte homogênea usando a equação característica e depois uma solução particular via método dos coeficientes determinados.

Passo 4

Começando pela parte homogênea:

Passo 5

A equação característica é

Passo 6

r^2 + 4 = 0,

Passo 7

cuja solução dá as raízes r = pm 2i. Então a solução homogênea é

Passo 8

yh = C1 cos 2t + C2 sin 2t

Passo 9

Agora, para a solução particular, note que o termo forçante 3sin2t tem a mesma frequência da homogênea (resonância). Por isso a gente multiplica o chute padrão por t. Vamos tentar

Passo 10

yp = tl(A cos2t + B sin2tr)

Passo 11

Calculando yp'' + 4yp (após derivar e simplificar) a gente encontra que os termos em t se cancelam e sobra

Passo 12

-4A sin2t + 4B cos2t = 3 sin2t

Passo 13

Comparando coeficientes dá

Passo 14

-4A = 3 A = -tfrac34 , e 4B = 0 B = 0

Passo 15

Então a solução particular é

Passo 16

yp = -34,tcos2t

Passo 17

Juntando tudo, a solução geral fica

Passo 18

y(t) = C1 cos2t + C2 sin2t - 34,tcos2t

Passo 19

Agora aplicamos as condições iniciais.

Passo 20

Substituindo t=0 em y(t):

Passo 21

y(0) = C1 = 2

Passo 22

Derivando y(t) e avaliando em t=0:

Passo 23

y'(t) = -2C1 sin2t + 2C2 cos2t - 34cos2t + 32tsin2t,

Passo 24

y'(0) = 2C2 - 34 = -1 Rightarrow C2 = -18

Resposta

y(t)=2cos2t-tfrac18sin2t-tfrac34,tcos2t

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