[1.5pt ] Sabendo que a torção de uma curva r(t) é dada por
tau=(r^prime times r^prime prime) cdot r^prime prime prime|r^prime times r^prime prime|^2
Determine a torção da curva r(t)=lang<= t, 12 t^2, 13 t^3rang<=

Passo 1

O enunciado pede a torção tau da curva
r(t)=llang<= t,tfrac12t^2,tfrac13t^3rrang<=
usando a fórmula
tau=l(r'timesr''r)cdotr'''l|r'timesr''r|^2
Para isso vamos precisar de r'(t), r''(t), r'''(t), do produto vetorial r'timesr'' e de seu módulo ao quadrado.

Passo 2

Calcular as derivadas de ordem 1, 2 e 3:
r'(t)=llang<= 1,;t,;t^2rrang<=, r''(t)=llang<= 0,;1,;2trrang<=, r'''(t)=llang<= 0,;0,;2rrang<=

Passo 3

Calcular o produto vetorial r'timesr'' usando determinante:
r'timesr'' = i&j&k 1&t&t^2 0&1&2t =llang<= t^2,;-2t,;1rrang<=

Passo 4

Calcular o produto escalar l(r'timesr''r)cdotr''':
llang<= t^2,,-2t,,1rrang<=cdotllang<=0,,0,,2rrang<= =0+0+2=2

Passo 5

Calcular o quadrado do módulo de r'timesr'':
l|r'timesr''r|^2 =(t^2)^2+(-2t)^2+1^2 =t^4+4t^2+1

Passo 6

Substituindo na fórmula da torção:
tau(t) =2t^4+4t^2+1

Resposta

tau(t)=2t^4+4t^2+1

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