Calcule as integrais.
integralR(y^2-4 x) d A
R=[-1,1] times[0,3]

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente calcular a integral dupla
integral duplaR (y^2 - 4x),dA
onde R é o retângulo [-1,1]times[0,3].
Conteúdo: Integrais duplas em retângulos, usando o Teorema de Fubini (transformar em duas integrais simples).
O que vamos precisar:
  • Saber escrever a integral dupla como iterada (escolher ordem de x e y).
  • Conhecer antiderivadas de y^2 em relação a x (trivial, é constante) e de x.
  • Depois integrar o resultado em y.

Passo 2

Primeiro, por Fubini, a gente “quebra” a integral dupla em duas integrais simples:
integral duplaR (y^2 - 4x),dA =integraly=0^3!integralx=-1^1 (y^2 - 4x),dx,dy
Isso significa: para cada y fixo entre 0 e 3, integramos em x de -1 a 1, e só depois integramos em y.

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
integralx=-1^1 (y^2 - 4x),dx =integral-1^1 y^2,dx ;-;4integral-1^1 x,dx
Teoria:
  • Como y^2 não depende de x, integral-1^1y^2,dx = y^2,(1 - (-1)) = 2y^2.
  • E integral-1^1 x,dx = l[tfracx^22r]-1^1 = tfrac12 - tfrac12 = 0.
    Logo
integral-1^1 (y^2 - 4x),dx = 2y^2 - 4cdot 0 = 2y^2

Passo 4

Agora a integral restante em y:
integraly=0^3 2y^2,dy
Teoria: antiderivada de y^2 é tfracy^33.
Então
integral0^3 2y^2,dy = 2integral0^3 y^2,dy = 2l[tfracy^33r]0^3 = 2cdot3^33 = 2cdot273 = 2cdot9 =18

Resposta

18

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