Calcule as integrais.
integralR(x y+3 y^2) d A
R=[-2,4] times[0,6]

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem que calcular a integral dupla
integral duplaRl(xy + 3y^2r),dA
onde R é o retângulo [-2,4]times[0,6].
Conteúdo: integrais duplas em coordenadas retangulares usando o Teorema de Fubini (ou seja, transformar numa integral iterada).
O que vamos precisar:
  • Saber que numa região retangular dá pra escrever
    integral duplaR f(x,y),dA = integraly=0^6!!integralx=-2^4 f(x,y),dx,dy.
  • Entender que, ao integrar em x, tratamos y como constante (e vice-versa).

Passo 2

Vamos fazer a integral em x primeiro:
integralx=-2^4l(xy + 3y^2r),dx
Aqui y é só uma constante, então:
integral(xy),dx = yintegral x,dx = ycdotx^22, integral(3y^2),dx = 3y^2integral 1,dx = 3y^2,x
Logo a primitiva em x é
y,x^22 + 3y^2,x
Agora avaliamos de -2 a 4:
l[y,x^22 + 3y^2xr]x=-2^4 = l(ycdot4^22 + 3y^2cdot4r) - l(ycdot(-2)^22 + 3y^2cdot(-2)r)
Calculemos termo a termo:
  • Para x=4: tfracycdot162 + 12y^2 = 8y + 12y^2.
  • Para x=-2: tfracycdot42 -6y^2 = 2y - 6y^2.
    Subtraindo:
(8y + 12y^2) - (2y - 6y^2) = 8y - 2y + 12y^2 + 6y^2 = 6y + 18y^2
Então a integral interna vira
integralx=-2^4(xy + 3y^2),dx = 6y + 18y^2

Passo 3

Agora integramos isso em y de 0 a 6:
integraly=0^6l(6y + 18y^2r),dy = 6integral0^6 y,dy ;+; 18integral0^6 y^2,dy
Calculando:
integral0^6 y,dy = y^22|0^6 = 362 = 18, integral0^6 y^2,dy = y^33|0^6 = 2163 = 72
Logo
6cdot18 + 18cdot72 = 108 + 1296 = 1404

Resposta

integral duplaR(xy + 3y^2),dA = 1404

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