Resolva as equações abaixo.
Passo 1
O exercício pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
. O conteúdo aqui é equações lineares de segunda ordem. Vamos precisar encontrar primeiro a solução homogênea (resolvendo a equação característica) e depois uma solução particular (método dos coeficientes a determinar).
Passo 2
Para achar a solução homogênea, consideramos a equação característica associada:
Passo 3
Passo 4
Resolvendo essa equação, calculamos o discriminante
. As raízes são
Passo 5
Passo 6
ou seja,
e
.
Passo 7
Logo, a solução geral da homogênea é
Passo 8
Passo 9
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 10
Agora vamos buscar uma solução particular
. Como o termo dono de não homogeneidade é
e
corresponde à raiz
da característica, fazemos uma proposta multiplicada por
. Dizemos
Passo 11
Passo 12
Chamando
, temos
Passo 13
Passo 14
Daí
Passo 15
Passo 16
Passo 17
Substituindo em
obtemos
Passo 18
Passo 19
tudo multiplicado por
. Igualando ao lado direito,
Passo 20
Passo 21
Substituindo
e
ficamos com
Passo 22
Passo 23
Igualando coeficientes,
Passo 24
Passo 25
Passo 26
Portanto