Resolva as equações abaixo.
y^prime prime+2 y^prime-24 y=(x+2) cdot e^4 x

Passo 1

O exercício pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea y'' + 2y' - 24y = (x+2)e^4x. O conteúdo aqui é equações lineares de segunda ordem. Vamos precisar encontrar primeiro a solução homogênea (resolvendo a equação característica) e depois uma solução particular (método dos coeficientes a determinar).

Passo 2

Para achar a solução homogênea, consideramos a equação característica associada:

Passo 3

r^2 + 2r - 24 = 0

Passo 4

Resolvendo essa equação, calculamos o discriminante De<a = 2^2 - 4 cdot 1 cdot (-24) = 4 + 96 = 100. As raízes são

Passo 5

r = -2 pm raiz1002 = -2 pm 102,

Passo 6

ou seja, r1 = 4 e r2 = -6.

Passo 7

Logo, a solução geral da homogênea é

Passo 8

yh(x) = C1 e^4x + C2 e^-6x,

Passo 9

onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 10

Agora vamos buscar uma solução particular yp. Como o termo dono de não homogeneidade é (x+2)e^4x e e^4x corresponde à raiz r=4 da característica, fazemos uma proposta multiplicada por x. Dizemos

Passo 11

yp(x) = (Ax^2 + Bx)e^4x

Passo 12

Chamando u(x)=Ax^2+Bx, temos

Passo 13

u'(x)=2Ax+Be u''(x)=2A

Passo 14

Daí

Passo 15

yp'=(u'+4u)e^4x,

Passo 16

yp''=(u''+8u'+16u)e^4x

Passo 17

Substituindo em y''+2y'-24y obtemos

Passo 18

(u''+8u'+16u) + 2(u'+4u) -24u = (u'' +10u')

Passo 19

tudo multiplicado por e^4x. Igualando ao lado direito,

Passo 20

u''+10u' = x+2

Passo 21

Substituindo u''=2A e u'=2Ax+B ficamos com

Passo 22

20Ax + (2A + 10B) = x + 2

Passo 23

Igualando coeficientes,

Passo 24

20A = 1 implies A = tfrac120,

Passo 25

2A + 10B = 2 implies 2cdot tfrac120 + 10B = 2 implies B = tfrac19100

Passo 26

Portanto

Passo 27

yp(x) = l(tfrac120x^2 + tfrac19100xr)e^4x

Resposta

y(x) = C1 e^4x + C2 e^-6x + l(tfrac120x^2 + tfrac19100xr)e^4x

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