Isto é útil quando desejamos resolver vários sistemas lineares que possuem a mesma matriz dos coeficientes. Usando a teoria acima resolva os sistema A X=B onde A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\\\ 2 & 5 & -4 \\\\ 3 & 7 & -5\end{array}\right] e
B=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz dos coeficientes e o termo independente e pede a solução do sistema linear:
A X = B
com
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\[4pt] 2 & 5 & -4\\[4pt] 3 & 7 & -5\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 2\\[4pt] 3\end{pmatrix}.
O que é pedido: encontrar o vetor incógnita X que satisfaz A X=B.]

Passo 2

Método escolhido e por quê (breve explicação didática).
  • Aqui vou usar a fatoração LU (forma Doolittle): escrever A como produto de uma matriz triangular inferior L com diagonal unitária e uma matriz triangular superior U,
A = L\,U.
  • Por que isso? Porque uma vez que A=L U, resolver A X=B reduz-se a duas etapas fáceis:
    1. resolver \,L Y=B por substituição para frente (obtém-se Y),
    2. resolver \,U X=Y por substituição para trás (obtém-se X).
  • Vantagem prática: se houver vários vetores B com a mesma A, calcula-se L e U uma vez só e depois reaplica-se as duas substituições para cada B, o que é muito mais rápido do que refazer eliminação completa toda vez.
Agora explico a ideia do algoritmo de Doolittle de forma simples:
  • Escreve-se L com 1s na diagonal e elementos l_{ij} abaixo; U tem zeros abaixo da diagonal.
  • Usa-se eliminação gaussiana para obter os l_{ij} e as linhas de U simultaneamente, com fórmulas do tipo l_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}},\quad u_{1j}=a_{1j},\quad\text{etc.}
Vou aplicar isso passo a passo ao A dado.

Passo 3

Construção explícita de L e U (Doolittle).
  • Começo definindo a primeira linha de U como a primeira linha de A:
u_{11}=1,\quad u_{12}=2,\quad u_{13}=-2,
logo a primeira linha de U é \begin{pmatrix}1 & 2 & -2\end{pmatrix}.
  • Calculo os multiplicadores da primeira coluna (entradas de L abaixo da diagonal):
l_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{2}{1}=2,\qquad l_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{3}{1}=3.
  • Elimino a primeira coluna das linhas 2 e 3 para obter a segunda linha provisória de U:
    linha2 := linha2 - l_{21}*linha1:
(2,5,-4) - 2\cdot(1,2,-2) = (0,\,1,\,0).
linha3 := linha3 - l_{31}*linha1:
(3,7,-5) - 3\cdot(1,2,-2) = (0,\,1,\,1).
  • Agora a segunda linha de U terá u_{22}=1,\\ u_{23}=0. Ou seja a segunda linha de U é \begin{pmatrix}0 & 1 & 0\end{pmatrix}.
  • Calculo o multiplicador l_{32} para eliminar na terceira linha usando o pivô u_{22}=1:
l_{32}=\frac{\text{(entrada 3,2 após eliminação)}}{u_{22}}=\frac{1}{1}=1.óçã
  • Eliminação final na terceira linha: linha3 := linha3 - l_{32}*linha2:
(0,1,1) - 1\cdot(0,1,0) = (0,0,1).
  • Assim U completa-se como
U=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
e L, com 1s na diagonal e os multiplicadores calculados, é
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
  • Verificação rápida (produto L U) mostra que recuperamos A — isto confirma que a fatoração está correta.]

Passo 4

Resolver L Y = B\) por substituição para frente (ensino a técnica). - Escrevemos o sistema componente a componente. Com \(Y=(y_1,y_2,y_3)^\top\) e \(B=(1,2,3)^\top\), \[\begin{cases} 1\cdot y_1 = 1,\\[4pt] 2\cdot y_1 + 1\cdot y_2 = 2,\\[4pt] 3\cdot y_1 + 1\cdot y_2 + 1\cdot y_3 = 3. \end{cases}
  • Substituição para frente: resolve-se y_1\] primeiro, depois \(y_2, depois y_3.
    • Da primeira equação: y_1 = 1.
    • Segunda: 2\cdot 1 + y_2 = 2 \Rightarrow y_2 = 0.
    • Terceira: 3\cdot 1 + 0 + y_3 = 3 \Rightarrow y_3 = 0.
  • Logo
Y=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver U X = Y\) por substituição para trás (ensino a técnica). - Com \(X=(x_1,x_2,x_3)^\top\) e \(Y\) conhecido, o sistema é \[\begin{cases} 1\cdot x_1 + 2\cdot x_2 -2\cdot x_3 = 1,\\[4pt] \phantom{1\cdot{}}0\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = 0,\\[4pt] \phantom{1\cdot{}}0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 0. \end{cases}
  • Substituição para trás: resolve-se x_3\] pela última equação, depois \(x_2, depois x_1.
    • Da última: x_3 = 0.
    • Segunda: x_2 = 0.
    • Primeira: x_1 + 2\cdot 0 -2\cdot 0 = 1 \Rightarrow x_1 = 1.
  • Assim
X=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Resposta

X=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}]

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