Isto é útil quando desejamos resolver vários sistemas lineares que possuem a mesma matriz dos coeficientes. Usando a teoria acima resolva os sistema A X=B onde A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\\\ 2 & 5 & -4 \\\\ 3 & 7 & -5\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado fornece a matriz dos coeficientes e o termo independente e pede a solução do sistema linear:
O que é pedido: encontrar o vetor incógnita X que satisfaz A X=B.]
Passo 2
Método escolhido e por quê (breve explicação didática).
Aqui vou usar a fatoração LU (forma Doolittle): escrever A como produto de uma matriz triangular inferior L com diagonal unitária e uma matriz triangular superior U,
A = L\,U.
Por que isso? Porque uma vez que A=L U, resolver A X=B reduz-se a duas etapas fáceis:
resolver \,L Y=B por substituição para frente (obtém-se Y),
resolver \,U X=Y por substituição para trás (obtém-se X).
Vantagem prática: se houver vários vetores B com a mesma A, calcula-se L e U uma vez só e depois reaplica-se as duas substituições para cada B, o que é muito mais rápido do que refazer eliminação completa toda vez.
Agora explico a ideia do algoritmo de Doolittle de forma simples:
Escreve-se L com 1s na diagonal e elementos l_{ij} abaixo; U tem zeros abaixo da diagonal.
Usa-se eliminação gaussiana para obter os l_{ij} e as linhas de U simultaneamente, com fórmulas do tipol_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}},\quad u_{1j}=a_{1j},\quad\text{etc.}
Vou aplicar isso passo a passo ao A dado.
Passo 3
Construção explícita de L e U (Doolittle).
Começo definindo a primeira linha de U como a primeira linha de A:
u_{11}=1,\quad u_{12}=2,\quad u_{13}=-2,
logo a primeira linha de U é \begin{pmatrix}1 & 2 & -2\end{pmatrix}.
Calculo os multiplicadores da primeira coluna (entradas de L abaixo da diagonal):
Verificação rápida (produto L U) mostra que recuperamos A — isto confirma que a fatoração está correta.]
Passo 4
Resolver L Y = B\) por substituição para frente (ensino a técnica).
- Escrevemos o sistema componente a componente. Com \(Y=(y_1,y_2,y_3)^\top\) e \(B=(1,2,3)^\top\),
\[\begin{cases} 1\cdot y_1 = 1,\\[4pt] 2\cdot y_1 + 1\cdot y_2 = 2,\\[4pt] 3\cdot y_1 + 1\cdot y_2 + 1\cdot y_3 = 3. \end{cases}
Substituição para frente: resolve-se y_1\] primeiro, depois \(y_2, depois y_3.