1’) Assinale verdadeiro ou falso. Justificando, quando verdadeiro, e dando um ^ a contraexemplo, quando falso.
i. dd x integrala^b f(x) d x=f(x), se f(x) é continua;
ii. integral tg^-1 x d x=1x^2+1+C Are T De<a 6 x
iii. integral0^3 e^x^2 d x=integral0^5 e^x^2 d x+integral5^3 e^x^2 d x
iv. integral0^2(x-x^3) d x representa a área sob a curva y=x-x^3, de 0 até 2

Passo 1

O enunciado pede para classificar quatro afirmações como verdadeiras ou falsas, usando conceitos de:
– Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para derivadas de integrais;
– técnicas de integração indefinida;
– propriedade de aditividade de integrais definidas;
– interpretação do valor de uma integral definida como área com sinal.

Passo 2

A afirmação
ddxintegrala^bf(x),dx = f(x)
é falsa. Pelo TFC, quando ambos os limites são constantes, integrala^bf(x),dx é uma constante e sua derivada é zero, não f(x).
Contraexemplo: tome f(x)=1 e a=0, b=1. Então
integral0^11,dx = 1
é constante, e
ddxl(integral0^11,dxr)=0neq 1=f(x)

Passo 3

A afirmação
integral tan^-1x,dx = 1x^2+1+C
é falsa. De fato, ddx(tan^-1x)=1x^2+1, mas isso não implica que integraltan^-1x,dx=1x^2+1. Um antiderivado correto é
integral tan^-1x,dx = x,tan^-1x - tfrac12lnl(1+x^2r) + C

Passo 4

A afirmação
integral0^3e^x^2,dx = integral0^5e^x^2,dx + integral5^3e^x^2,dx
é verdadeira. A propriedade de aditividade diz que, para qualquer a<b<c,
integrala^cf(x),dx = integrala^bf(x),dx + integralb^cf(x),dx
Aqui basta escolher a=0, b=5, c=3, e lembrar que integral5^3=,-!integral3^5.

Passo 5

A afirmação
integral0^2l(x - x^3r),dx representa a área sob a curva y=x-x^3 de 0 até 2
é falsa. A integral definida computa a área com sinal: se y<0 em parte do intervalo, essa porção contribui negativamente. Por exemplo,
integral0^2(x - x^3),dx = l[tfrac12x^2-tfrac14x^4r]0^2 = l(2 - 4r) = -2,
enquanto a área geométrica (sem sinal) seria positiva.

Resposta

i. Falsa
ii. Falsa
iii. Verdadeira
iv. Falsa

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