1’) Assinale verdadeiro ou falso. Justificando, quando verdadeiro, e dando um
contraexemplo, quando falso.
i.
, se
é continua;
ii.
Are
iii.
iv.
representa a área sob a curva
, de 0 até 2
i.
ii.
iii.
iv.
Passo 1
O enunciado pede para classificar quatro afirmações como verdadeiras ou falsas, usando conceitos de:
– Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para derivadas de integrais;
– técnicas de integração indefinida;
– propriedade de aditividade de integrais definidas;
– interpretação do valor de uma integral definida como área com sinal.
– Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para derivadas de integrais;
– técnicas de integração indefinida;
– propriedade de aditividade de integrais definidas;
– interpretação do valor de uma integral definida como área com sinal.
Passo 2
A afirmação
é falsa. Pelo TFC, quando ambos os limites são constantes, é uma constante e sua derivada é zero, não
.
Contraexemplo: tome e
,
. Então
é falsa. Pelo TFC, quando ambos os limites são constantes,
Contraexemplo: tome
é constante, e
Passo 3
A afirmação
é falsa. De fato, , mas isso não implica que
. Um antiderivado correto é
é falsa. De fato,
Passo 4
A afirmação
é verdadeira. A propriedade de aditividade diz que, para qualquer ,
é verdadeira. A propriedade de aditividade diz que, para qualquer
Aqui basta escolher
,
,
, e lembrar que
.
Passo 5
A afirmação
representa a área sob a curva
de 0 até 2
é falsa. A integral definida computa a área com sinal: se em parte do intervalo, essa porção contribui negativamente. Por exemplo,
é falsa. A integral definida computa a área com sinal: se
enquanto a área geométrica (sem sinal) seria positiva.
Resposta
i. Falsa
ii. Falsa
iii. Verdadeira
iv. Falsa
ii. Falsa
iii. Verdadeira
iv. Falsa