A temperatura do ponto (x, y) de uma chapa é dado por
T(x, y)=60+4 raiz28-x^2-2 y^2
onde T é dado em graus Celsius e x, y em centímetros.
Suponha que uma formiga caminhe, a partir do ponto (1,3), paralelamente ao eixo-x, no sentido positivo. A temperatura que a formiga está sendo exposta aumentará ou diminuirá?? A que taxa?

Passo 1

O enunciado fornece o campo escalar da temperatura
T(x,y)=60+4raiz28 - x^2 - 2y^2
e diz que a formiga parte de (1,3) movendo-se paralelamente ao eixo x (isto é, mantendo y=3 constante e aumentando x). Queremos saber se T aumenta ou diminui ao longo desse caminho e a que taxa (graus por centímetro). Para isso, usaremos o conceito de derivada direcional ao longo da direção u=(1,0).

Passo 2

Como y é constante igual a 3 e a formiga anda no sentido positivo de x, podemos parametrizar a curva por
x(s)=s, y(s)=3,
de modo que a taxa de variação da temperatura em função de s é
dTds=partial Tpartial x,dxds+partial Tpartial y,dyds
Como dxds=1 e dyds=0, fica
dTds=partial Tpartial x

Passo 3

Calculamos partial Tpartial x. Definindo
u(x,y)=28 - x^2 -2y^2,
temos T=60+4raizu e
partial Tpartial x =4cdot12raizucdotpartial upartial x =4cdot12raiz28 - x^2 -2y^2cdot(-2x) =-4xraiz28 - x^2 -2y^2

Passo 4

Avaliamo em (x,y)=(1,3):
28 - 1^2 -2cdot3^2 =28 -1 -18 =9, raiz9=3,
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partial Tpartial x(1,3) =-4cdot13 =-43

Passo 5

O valor de partial Tpartial x(1,3) é negativo, portanto a temperatura diminui quando a formiga anda no sentido positivo de x, a uma taxa de tfrac43 graus Celsius por centímetro.

Resposta

A temperatura diminui, à taxa de -tfrac43 circC/cm.

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