Mostre que as equações diferenciais abaixo são homogêneas e, em seguida, resolva-as.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação diferencial
é homogênea e, depois, resolvê-la. Isso está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais Homogêneas, que são aquelas onde podemos simplificar usando uma substituição que assume uma certa proporção entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar identificar essa característica na equação e aplicar a técnica adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial de primeira ordem na forma
é chamada de homogênea se as funções
e
forem homogêneas do mesmo grau. Isso significa que se multiplicarmos
e
por um fator
, as funções
e
multiplicam por
, onde
é o grau de homogeneidade.
Passo 3
Vamos verificar se a equação
é homogênea. Observamos que:
Para verificar a homogeneidade, substituímos
por
e
por
:
Ambas as funções
e
são multiplicadas por
, então a equação é homogênea de grau 1.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos usar a substituição
, o que implica que
. Vamos derivar
em relação a
:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por
:
Rearranjando:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial separável:
Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde
, ainda uma constante.
Usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados:
Onde
, outra constante.
Passo 8
Lembrando que
:
Esse é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.