Mostre que as equações diferenciais abaixo são homogêneas e, em seguida, resolva-as.
(x+y) d x+x d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação diferencial (x + y) dx + x dy = 0 é homogênea e, depois, resolvê-la. Isso está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais Homogêneas, que são aquelas onde podemos simplificar usando uma substituição que assume uma certa proporção entre y e x. Para resolver isso, vamos precisar identificar essa característica na equação e aplicar a técnica adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial de primeira ordem na forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 é chamada de homogênea se as funções M e N forem homogêneas do mesmo grau. Isso significa que se multiplicarmos x e y por um fator λ, as funções M e N multiplicam por λ^n, onde n é o grau de homogeneidade.

Passo 3

Vamos verificar se a equação (x + y) dx + x dy = 0 é homogênea. Observamos que:
  • M(x, y) = x + y
  • N(x, y) = x
Para verificar a homogeneidade, substituímos x por λx e y por λy:
  • M(λx, λy) = λx + λy = λ(x + y)
  • N(λx, λy) = λx
Ambas as funções M e N são multiplicadas por λ, então a equação é homogênea de grau 1.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos usar a substituição v = yx, o que implica que y = v x. Vamos derivar y em relação a x:
dydx = v + x dvdx
Substituindo y = v x e dydx na equação original:
(x + v x) + x (v + x dvdx) = 0
Simplificando:
x(1 + v) + x(v + x dvdx) = 0 x(1 + v + v) + x^2 dvdx = 0 x(1 + 2v) + x^2 dvdx = 0
Dividindo todos os termos por x:
1 + 2v + x dvdx = 0
Rearranjando:
x dvdx = - (1 + 2v)

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial separável:
dvdx = - 1 + 2vx
Vamos separar as variáveis v e x:
dv1 + 2v = - dxx

Passo 6

Integrando ambos os lados:
integral dv1 + 2v = - integral dxx
Calculando as integrais:
12 ln |1 + 2v| = - ln |x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
ln |1 + 2v| = -2 ln |x| + C'
Onde C' = 2C, ainda uma constante.
Usando propriedades dos logaritmos:
ln |1 + 2v| + 2 ln |x| = C'
ln |x^2 (1 + 2v)| = C'
Exponenciando ambos os lados:
x^2 (1 + 2v) = K
Onde K = e^C', outra constante.

Passo 8

Lembrando que v = yx:
x^2 (1 + 2 cdot yx) = K x^2 + 2x y = K
Esse é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é x^2 + 2x y = C, onde C é uma constante.

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