Suponha que a função admita derivadas parciais em todos os pontos de seu domínio e que seja dada implicitamente pela equação . Admita que para e . Calcule e partial zpartial y|y=1 ^x=1.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função z = z(x, y) que está definida pela equação implícita x y z + z^3 = x . Sabemos que quando x = 1 e y = 1 , z = 2 . A gente precisa encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y nesse ponto específico. Para resolver isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a diferenciação:
x y z + z^3 = x
Queremos achar partial zpartial x e partial zpartial y , então vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x e y , respectivamente.
Passo 3
Vamos começar calculando partial zpartial x . Aplicando a diferenciação implícita em relação a x :
partialpartial x(x y z) + partialpartial x(z^3) = partialpartial x(x)
Usando a regra do produto para x y z :
y z + x y partial zpartial x + 3 z^2 partial zpartial x = 1
Fatorando partial zpartial x :
(y + x y + 3 z^2) partial zpartial x = 1 - y z
Isolando partial zpartial x :
partial zpartial x = 1 - y zy + x y + 3 z^2
Passo 4
Agora, vamos calcular partial zpartial y . Diferenciando a equação original em relação a y :
partialpartial y(x y z) + partialpartial y(z^3) = partialpartial y(x)
Aplicando a regra do produto novamente:
x z + x y partial zpartial y + 3 z^2 partial zpartial y = 0
Fatorando partial zpartial y :
(x y + 3 z^2) partial zpartial y = -x z
Isolando partial zpartial y :
partial zpartial y = -x zx y + 3 z^2
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores x = 1 , y = 1 e z = 2 nas expressões que encontramos para partial zpartial x e partial zpartial y .