Suponha que a função z=z(x, y) admita derivadas parciais em todos os pontos de seu domínio e que seja dada implicitamente pela equação x y z+z^3=x. Admita que z=2 para x=1 e y=1. Calcule partial zpartial x|y=1 ^x=1 e partial zpartial y|y=1 ^x=1.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função z = z(x, y) que está definida pela equação implícita x y z + z^3 = x . Sabemos que quando x = 1 e y = 1 , z = 2 . A gente precisa encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y nesse ponto específico. Para resolver isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a diferenciação:
x y z + z^3 = x
Queremos achar partial zpartial x e partial zpartial y , então vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x e y , respectivamente.

Passo 3

Vamos começar calculando partial zpartial x . Aplicando a diferenciação implícita em relação a x :
partialpartial x(x y z) + partialpartial x(z^3) = partialpartial x(x)
Usando a regra do produto para x y z :
y z + x y partial zpartial x + 3 z^2 partial zpartial x = 1
Fatorando partial zpartial x :
(y + x y + 3 z^2) partial zpartial x = 1 - y z
Isolando partial zpartial x :
partial zpartial x = 1 - y zy + x y + 3 z^2

Passo 4

Agora, vamos calcular partial zpartial y . Diferenciando a equação original em relação a y :
partialpartial y(x y z) + partialpartial y(z^3) = partialpartial y(x)
Aplicando a regra do produto novamente:
x z + x y partial zpartial y + 3 z^2 partial zpartial y = 0
Fatorando partial zpartial y :
(x y + 3 z^2) partial zpartial y = -x z
Isolando partial zpartial y :
partial zpartial y = -x zx y + 3 z^2

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores x = 1 , y = 1 e z = 2 nas expressões que encontramos para partial zpartial x e partial zpartial y .
Para partial zpartial x :
partial zpartial x = 1 - (1)(2)1 + (1)(1) + 3(2)^2 = 1 - 21 + 1 + 12 = -114 = -114
Para partial zpartial y :
partial zpartial y = -(1)(2)(1)(1) + 3(2)^2 = -21 + 12 = -213 = -213

Resposta

partial zpartial x|y=1, x=1 = -114 e partial zpartial y|y=1, x=1 = -213

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