Problema 1: Em uma industria química é produzido e envasado um produto para revestimento cerâmico. A produção por mês é de 1000 unidades. Em um determinado mês foi observado que os produtos saiam da fábrica com a seguinte distribuição de pesos (considere que este é um padrāo populacional do mês):
Peso ( gramas ) F_{1}
960 \vdash 980 60
980 \vdash 1000 160
1000 \vdash 1020 280
1020 \vdash 1040 260
1040 \vdash 1060 160
1060 \vdash 1080 80
a) (0,25 Pontos) Qual a média da distribuição?
b) (0,25 Pontos) Qual a variância da distribuição?
c) (0,90 Pontos) Pensando na categoria de peso para venda, é requerido que se criem 3 categorias A , B e C de modo que
  • 20% mais leves sejam da categoria A;
  • 70% mais leves depois da categoria A, sejam da categoria B ;
  • 10% mais leves depois da categoria B, sejam da categoria C.
    Quais os limites de pesos das categorias \mathrm{A}, \mathrm{B} e C ?
    d) (0,60 Pontos) Se ao invés de separar por porcentagem, como no item anterior, fossem criadas duas categorias: D e E, de modo que
  • produtos com menos que 1 desvio padrão da média estão em D;
  • demais produtos estão em E.
Qual a quantidade de produtos que serāo alocados na categoria D e E ?
e) (0,5 Pontos) Considere que o produto é vendido por \mathrm{R} \ 5,00, \mathrm{R} $7,50, \mathrm{R} $ 11,00, \mathrm{R} $7,00, \mathrm{R} $ 9,00 nas categorias\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ e E , respectivamente. Qual é o esquema de vendas que a empresa espera um Lucro maior, no sistema de (A,B,C) ou (D,E)?

Passo 1

O enunciado fornece a distribuição de pesos (população do mês) dividida em classes com frequências absolutas, para uma produção total de 1000 unidades. Vou listar tudo que foi dado e o que o problema pede, sem resolver ainda.
Dados (retirados da tabela do enunciado):
  • Classes de peso (em gramas) e respectivas frequências absolutas F_1:
    • [960,980): 60
    • [980,1000): 160
    • [1000,1020): 280
    • [1020,1040): 260
    • [1040,1060): 160
    • [1060,1080): 80
  • Tamanho total da população: N=1000.
O que é pedido:
a) Calcular a média da distribuição.
b) Calcular a variância da distribuição (populacional, pois foi dito ser o padrão populacional do mês).
c) Definir 3 categorias A,B,C por percentis: os 20\% mais leves em A, os próximos 70\% em B, e os 10\% restantes em C. Determinar os limites de peso dessas categorias.
d) Criar duas categorias D e E com a regra: produtos com distância à média menor que 1 desvio padrão (isto é, dentro de \mu\pm\sigma) vão para D; os demais vão para E. Calcular quantos produtos ficam em D e em E.
e) Comparar o faturamento total esperado nos dois esquemas de venda (A,B,C) versus (D,E), dado que os preços por unidade são: A:\mathrm{R}\$5,00, B:\mathrm{R}\$7,50, C:\mathrm{R}\$11,00, D:\mathrm{R}\$7,00, E:\mathrm{R}\$9,00. Indicar qual esquema dá maior lucro esperado.
Observações para a resolução:
  • Vou usar os pontos médios das classes para aproximar média e variância (procedimento padrão para dados agrupados).
  • Para percentis e contagens parciais dentro de uma classe vou usar interpolação linear dentro da classe (assumindo distribuição uniforme dentro da classe).
  • Todas as quantidades serão apresentadas com as unidades apropriadas (gramas, número de produtos, reais).

Passo 2

Cálculo dos pontos médios das classes e verificação das frequências. Explico o porquê dos pontos médios: para dados agrupados sem informação individual, o ponto médio de cada classe é uma boa aproximação do valor típico dos observações nessa classe; daí usamos esses pontos médios para calcular soma ponderada.
Pontos médios m_i das classes:
  • Para [960,980): m_1 = 970.
  • Para [980,1000): m_2 = 990.
  • Para [1000,1020): m_3 = 1010.
  • Para [1020,1040): m_4 = 1030.
  • Para [1040,1060): m_5 = 1050.
  • Para [1060,1080): m_6 = 1070.
Frequências correspondentes:
  • f_1=60,\\ f_2=160,\\ f_3=280,\\ f_4=260,\\ f_5=160,\\ f_6=80.
Verificação da soma:
\sum_{i=1}^{6} f_i = 60+160+280+260+160+80 = 1000 = N.

Passo 3

Cálculo da média populacional approximada usando pontos médios. Fórmula para média de dados agrupados (populacional ou amostral o procedimento é o mesmo na soma):
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} f_i m_i,
onde f_i é a frequência da i-ésima classe, m_i é o ponto médio da classe, e N é o total.
Calculemos cada produto f_i m_i:
\begin{aligned} 60\cdot970 &= 58\,200,\\\\ 160\cdot990 &= 158\,400,\\\\ 280\cdot1010 &= 282\,800,\\\\ 260\cdot1030 &= 267\,800,\\\\ 160\cdot1050 &= 168\,000,\\\\ 80\cdot1070 &= 85\,600. \end{aligned}
Soma:
\sum_{i=1}^6 f_i m_i = 1\,020\,800.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{1\,020\,800}{1000}=1020,8\\ \text{g}.
Comentário prático: a média \bar{x}=1020,8\\ \text{g} significa que o peso médio (esperado) de uma unidade produzida naquele mês é cerca de 1020,8 gramas.

Passo 4

Cálculo da variância populacional (aproximação por dados agrupados). Fórmula populacional para variância com dados agrupados usando pontos médios:
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} f_i (m_i-\bar{x})^2.
Aqui \sigma^2 é a variância populacional e \bar{x} é a média calculada.
Primeiro calculamos os desvios d_i=m_i-\bar{x} e seus quadrados:
\begin{aligned} d_1 &= 970-1020,8 = -50,8,\quad d_1^2 = 2580,64,\\\ d_2 &= 990-1020,8 = -30,8,\quad d_2^2 = 948,64,\\\ d_3 &= 1010-1020,8 = -10,8,\quad d_3^2 = 116,64,\\\ d_4 &= 1030-1020,8 = 9,2,\quad d_4^2 = 84,64,\\\ d_5 &= 1050-1020,8 = 29,2,\quad d_5^2 = 852,64,\\\ d_6 &= 1070-1020,8 = 49,2,\quad d_6^2 = 2420,64. \end{aligned}
Agora multiplicamos por f_i e somamos:
\begin{aligned} 60\cdot2580,64 &= 154\,838,4,\\\\ 160\cdot948,64 &= 151\,782,4,\\\\ 280\cdot116,64 &= 32\,659,2,\\\\ 260\cdot84,64 &= 22\,006,4,\\\\ 160\cdot852,64 &= 136\,422,4,\\\\ 80\cdot2420,64 &= 193\,651,2. \end{aligned}
Soma total:
\sum_{i=1}^6 f_i (m_i-\bar{x})^2 = 691\,360.
Dividindo por N=1000:
\sigma^2=\frac{691\,360}{1000}=691,36\\ (\text{g}^2).
Desvio padrão:
\sigma=\sqrt{691,36}\approx 26,30\\ \text{g}.
Interpretação: a variação típica dos pesos em torno da média é cerca de 26,30 gramas.

Passo 5

Parte (c): definir limites de categorias A,B,C por percentis. Explico o método de interpolação linear dentro de uma classe.
Método (fórmula de interpolação para percentil p na posição k=p\cdot N):
Se o k-ésimo elemento cai dentro da classe de limite inferior L e frequência da classe f_c com largura h, e a frequência acumulada antes dessa classe é F_{antes}, então o valor do percentil é aproximado por
x_p = L + \frac{k - F_{antes}}{f_c}\cdot h.
Aqui L é o limite inferior da classe que contém o percentil, h é a amplitude da classe (aqui 20 g), e F_{antes} é a soma das frequências das classes anteriores.
Queremos:
  • limite entre A e B: percentil de 20\%, ou posição k_{20}=0{,}20\cdot1000=200.
  • limite entre B e C: percentil de 90\% (pois 20\%+70\%=90\%), posição k_{90}=0{,}90\cdot1000=900.
Calcule limite A/B (percentil 20, k=200):
  • Frequência acumulada antes da segunda classe é F_{antes}=60.
  • A segunda classe é [980,1000) com f_c=160 e L=980, h=20.
    Aplicando a fórmula:
x_{0,20} = 980 + \frac{200-60}{160}\cdot20 = 980 + \frac{140}{160}\cdot20.
Calculando:
\frac{140}{160}=0{,}875,\qquad 0{,}875\cdot20=17,5,
logo
x_{0,20}=980+17,5=997,5\\ \text{g}.
Calcule limite B/C (percentil 90, k=900):
  • Frequência acumulada antes da quinta classe é F_{antes}=60+160+280+260=760.
  • A quinta classe é [1040,1060) com f_c=160, L=1040, h=20.
x_{0,90} = 1040 + \frac{900-760}{160}\cdot20 = 1040 + \frac{140}{160}\cdot20 = 1040 +17,5 = 1057,5\\ \text{g}.
Portanto os limites (aproximados por interpolação) são:
  • Categoria A: os 20\% mais leves têm peso até 997,5\\ \text{g}.
  • Categoria B: do acima de 997,5\\ \text{g} até 1057,5\\ \text{g} (próximos 70\%).
  • Categoria C: acima de 1057,5\\ \text{g} (últimos 10\%).
Observação: por construção os tamanhos são exatamente 200, 700 e 100 produtos, respectivamente.

Passo 6

Parte (d): categorias D e E por distância à média: D contém os produtos com peso dentro de \mu\pm\sigma (isto é, com menos que 1 desvio padrão da média), e E os demais. Vou determinar os limites numéricos e contar usando interpolação dentro das classes.
Limites:
\begin{aligned} \text{limite inferior} &= \bar{x}-\sigma = 1020,8 - 26,30 \approx 994,5\\ \text{g},\\\ \text{limite superior} &= \bar{x}+\sigma = 1020,8 + 26,30 \approx 1047,1\\ \text{g}. \end{aligned}
Agora contamos quantos produtos caem entre 994,5 e 1047,1 usando as classes.
Analisando classe a classe:
  • Classe [960,980): totalmente abaixo de 994,5. Contribuição para D: 0.
  • Classe [980,1000) com f_2=160: parte desta classe (de 994,5 até 1000) está em D.
    • Proporção dessa classe em D:
    \frac{1000-994,5}{20}=\frac{5,5}{20}=0{,}275.
    • Contagem aproximada: 0{,}275\cdot160=44 (aproximando para unidade).
  • Classe [1000,1020) com f_3=280: toda a classe está dentro de [994,5,1047,1]. Contribuição: 280.
  • Classe [1020,1040) com f_4=260: toda a classe está dentro do intervalo. Contribuição: 260.
  • Classe [1040,1060) com f_5=160: parte desta classe, de 1040 até 1047,1, está em D.
    • Proporção:
    \frac{1047,1-1040}{20}=\frac{7,1}{20}=0{,}355.
    • Contagem aproximada: 0{,}355\cdot160\approx56{,}8, arredondando 57.
  • Classe [1060,1080): totalmente acima do limite superior, contribuição 0.
Somando as contribuições (com arredondamento inteiro onde aplicável):
D \approx 44 + 280 + 260 + 57 = 641\\ \text{produtos}.
E então
E = N - D = 1000 - 641 = 359\\ \text{produtos}.
Observação: como usamos interpolação dentro de classes, os valores de D e E são aproximações; a soma permanece 1000.

Passo 7

Parte (e): calcular o faturamento total esperado em cada esquema e comparar.
Esquema (A,B,C):
  • Contagens: A=200,\\ B=700,\\ C=100 (essas quantidades vêm diretamente do enunciado de percentuais).
  • Preços por unidade: A:\mathrm{R}\$5{,}00, B:\mathrm{R}\$7{,}50, C:\mathrm{R}\$11{,}00.
    Faturamento total:
\begin{aligned} R_{ABC} &= 200\cdot5{,}00 + 700\cdot7{,}50 + 100\cdot11{,}00\\\ &= 1\,000 + 5\,250 + 1\,100 = 7\,350\\ \text{(reais)}. \end{aligned}
Esquema (D,E):
  • Contagens aproximadas: D\approx641,\\ E\approx359 (do Passo 6).
  • Preços: D:\mathrm{R}\$7{,}00, E:\mathrm{R}\$9{,}00.
    Faturamento total aproximado:
\begin{aligned} R_{DE} &= 641\cdot7{,}00 + 359\cdot9{,}00\\\ &= 4\,487 + 3\,231 = 7\,718\\ \text{(reais)}. \end{aligned}
Comparação:
R_{DE}\approx 7\,718 > R_{ABC}=7\,350,
logo o esquema (D,E) gera maior faturamento esperado do que (A,B,C), usando as contagens aproximadas obtidas por interpolação.

Resposta

a) \bar{x}=1020,8\\ \text{g}
b) \sigma^2=691,36\\ \text{g}^2 (logo \sigma\approx26,30\\ \text{g})
c) Limites por percentis (aproximação por interpolação):
A: até 997,5\\ \text{g} (20% mais leves)
B: >997,5\\ \text{g} até 1057,5\\ \text{g} (próximos 70%)
C: >1057,5\\ \text{g} (10% mais pesados)
d) Aproximação pelo método agrupado: D\approx641 produtos e E\approx359 produtos.
e) Faturamento total esperado: (A,B,C) gera R_{ABC}=\mathrm{R}\$7\,350,00; (D,E) gera R_{DE}\approx\mathrm{R}\$7\,718,00. Logo o esquema (D,E) espera maior lucro.

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