Problema 1: Em uma industria química é produzido e envasado um produto para revestimento cerâmico. A produção por mês é de 1000 unidades. Em um determinado mês foi observado que os produtos saiam da fábrica com a seguinte distribuição de pesos (considere que este é um padrāo populacional do mês):
Peso
gramas
60
160
280
260
160
80
a) (0,25 Pontos) Qual a média da distribuição?
b)
Pontos) Qual a variância da distribuição?
c) (0,90 Pontos) Pensando na categoria de peso para venda, é requerido que se criem 3 categorias A , B e C de modo que
- 20% mais leves sejam da categoria A;
- 70% mais leves depois da categoria A, sejam da categoria B ;
- 10% mais leves depois da categoria B, sejam da categoria C.
Quais os limites de pesos das categorias
e C ?
d) (0,60 Pontos) Se ao invés de separar por porcentagem, como no item anterior, fossem criadas duas categorias: D e E, de modo que
- produtos com menos que 1 desvio padrão da média estão em D;
- demais produtos estão em E.
Qual a quantidade de produtos que serāo alocados na categoria D e E ?
e) (0,5 Pontos) Considere que o produto é vendido por
5,00, \mathrm{R} $7,50, \mathrm{R} $ 11,00, \mathrm{R} $7,00, \mathrm{R} $ 9,00
\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ e E , respectivamente. Qual é o esquema de vendas que a empresa espera um Lucro maior, no sistema de (A,B,C) ou (D,E)?
| Peso
|
|
|
|
60 |
|
|
160 |
|
|
280 |
|
|
260 |
|
|
160 |
|
|
80 |
b)
c) (0,90 Pontos) Pensando na categoria de peso para venda, é requerido que se criem 3 categorias A , B e C de modo que
Quais os limites de pesos das categorias
d) (0,60 Pontos) Se ao invés de separar por porcentagem, como no item anterior, fossem criadas duas categorias: D e E, de modo que
e) (0,5 Pontos) Considere que o produto é vendido por
Passo 1
O enunciado fornece a distribuição de pesos (população do mês) dividida em classes com frequências absolutas, para uma produção total de
unidades. Vou listar tudo que foi dado e o que o problema pede, sem resolver ainda.
Dados (retirados da tabela do enunciado):
- Classes de peso (em gramas) e respectivas frequências absolutas
: -
: -
: -
: -
: -
: -
:
-
- Tamanho total da população:
.
O que é pedido:
a) Calcular a média da distribuição.
b) Calcular a variância da distribuição (populacional, pois foi dito ser o padrão populacional do mês).
c) Definir 3 categorias por percentis: os
mais leves em
, os próximos
em
, e os
restantes em
. Determinar os limites de peso dessas categorias.
d) Criar duas categorias e
com a regra: produtos com distância à média menor que 1 desvio padrão (isto é, dentro de
) vão para
; os demais vão para
. Calcular quantos produtos ficam em
e em
.
e) Comparar o faturamento total esperado nos dois esquemas de venda (A,B,C) versus (D,E), dado que os preços por unidade são: ,
,
,
,
. Indicar qual esquema dá maior lucro esperado.
a) Calcular a média da distribuição.
b) Calcular a variância da distribuição (populacional, pois foi dito ser o padrão populacional do mês).
c) Definir 3 categorias
d) Criar duas categorias
e) Comparar o faturamento total esperado nos dois esquemas de venda (A,B,C) versus (D,E), dado que os preços por unidade são:
Observações para a resolução:
- Vou usar os pontos médios das classes para aproximar média e variância (procedimento padrão para dados agrupados).
- Para percentis e contagens parciais dentro de uma classe vou usar interpolação linear dentro da classe (assumindo distribuição uniforme dentro da classe).
- Todas as quantidades serão apresentadas com as unidades apropriadas (gramas, número de produtos, reais).
Passo 2
Cálculo dos pontos médios das classes e verificação das frequências. Explico o porquê dos pontos médios: para dados agrupados sem informação individual, o ponto médio de cada classe é uma boa aproximação do valor típico dos observações nessa classe; daí usamos esses pontos médios para calcular soma ponderada.
Pontos médios
das classes:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Frequências correspondentes:
Verificação da soma:
Passo 3
Cálculo da média populacional approximada usando pontos médios. Fórmula para média de dados agrupados (populacional ou amostral o procedimento é o mesmo na soma):
onde
é a frequência da
-ésima classe,
é o ponto médio da classe, e
é o total.
Calculemos cada produto
:
Soma:
Logo a média é
Comentário prático: a média
significa que o peso médio (esperado) de uma unidade produzida naquele mês é cerca de
gramas.
Passo 4
Cálculo da variância populacional (aproximação por dados agrupados). Fórmula populacional para variância com dados agrupados usando pontos médios:
Aqui
é a variância populacional e
é a média calculada.
Primeiro calculamos os desvios
e seus quadrados:
Agora multiplicamos por
e somamos:
Soma total:
Dividindo por
:
Desvio padrão:
Interpretação: a variação típica dos pesos em torno da média é cerca de
gramas.
Passo 5
Parte (c): definir limites de categorias
por percentis. Explico o método de interpolação linear dentro de uma classe.
Método (fórmula de interpolação para percentil
na posição
):
Se o -ésimo elemento cai dentro da classe de limite inferior
e frequência da classe
com largura
, e a frequência acumulada antes dessa classe é
, então o valor do percentil é aproximado por
Se o
Aqui
é o limite inferior da classe que contém o percentil,
é a amplitude da classe (aqui
g), e
é a soma das frequências das classes anteriores.
Queremos:
- limite entre A e B: percentil de
, ou posição . - limite entre B e C: percentil de
(pois ), posição .
Calcule limite A/B (percentil 20,
):
- Frequência acumulada antes da segunda classe é
. - A segunda classe é
com e , .
Aplicando a fórmula:
Calculando:
logo
Calcule limite B/C (percentil 90,
):
- Frequência acumulada antes da quinta classe é
. - A quinta classe é
com , , .
Portanto os limites (aproximados por interpolação) são:
- Categoria
: os mais leves têm peso até . - Categoria
: do acima de até (próximos ). - Categoria
: acima de (últimos ).
Observação: por construção os tamanhos são exatamente
,
e
produtos, respectivamente.
Passo 6
Parte (d): categorias
e
por distância à média:
contém os produtos com peso dentro de
(isto é, com menos que 1 desvio padrão da média), e
os demais. Vou determinar os limites numéricos e contar usando interpolação dentro das classes.
Limites:
Agora contamos quantos produtos caem entre
e
usando as classes.
Analisando classe a classe:
- Classe
: totalmente abaixo de . Contribuição para : . - Classe
com : parte desta classe (de até ) está em . - Proporção dessa classe em
:
- Contagem aproximada:
(aproximando para unidade).
- Proporção dessa classe em
- Classe
com : toda a classe está dentro de . Contribuição: . - Classe
com : toda a classe está dentro do intervalo. Contribuição: . - Classe
com : parte desta classe, de até , está em . - Proporção:
- Contagem aproximada:
, arredondando .
- Classe
: totalmente acima do limite superior, contribuição .
Somando as contribuições (com arredondamento inteiro onde aplicável):
E então
Observação: como usamos interpolação dentro de classes, os valores de
e
são aproximações; a soma permanece
.
Passo 7
Parte (e): calcular o faturamento total esperado em cada esquema e comparar.
Esquema (A,B,C):
- Contagens:
(essas quantidades vêm diretamente do enunciado de percentuais). - Preços por unidade:
, , .
Faturamento total:
Esquema (D,E):
- Contagens aproximadas:
(do Passo 6). - Preços:
, .
Faturamento total aproximado:
Comparação:
logo o esquema
gera maior faturamento esperado do que
, usando as contagens aproximadas obtidas por interpolação.
Resposta
a)
b) (logo
)
c) Limites por percentis (aproximação por interpolação):
A: até (20% mais leves)
B: até
(próximos 70%)
C: (10% mais pesados)
d) Aproximação pelo método agrupado: produtos e
produtos.
e) Faturamento total esperado: gera
;
gera
. Logo o esquema
espera maior lucro.
b)
c) Limites por percentis (aproximação por interpolação):
A: até
B:
C:
d) Aproximação pelo método agrupado:
e) Faturamento total esperado: